Bölme İşleminin Tanımı

Sponsorlu Bağlantılar
2a2 8 ile a0 a1 a2 a3 abc birler Bölme İşleminin Tanımı Bölme İşleminin Özellikleri Nelerdir BÖLME işleminin özellikleri bölme işleminin tanımı..

Bölme İşleminin Özellikleri

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI
1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

… abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

l… abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 … a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

k Î Z olmak üzere,

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + … = 7k

olmalıdır.

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, … olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + … işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, … olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

8. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

9. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… = 11 . k

ve k Î Z olmalıdır.

® (n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan

(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.

Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

* 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.
* 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİS
A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K1 ve

B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.

Buna göre,

* A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.
* A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.
* D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.
* AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

Doğal Sayılar

DOĞAL SAYILAR

0, 1, 2, 3, … , 50, … devam eden sayılara doğal sayılar denir.
Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir.
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
İkinin katı olan sayılara çift doğal sayılar, çift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir.
n bir doğal sayı iken;
Çift doğal sayılar : 2
Tek doğal sayılar : 2 + 1 biçiminde gösterilir.
Sayma Sayıları
Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir.
S = {1, 2, 3, 4, 5, …}

SAYI DOĞRUSU

Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı noktaları ile bire-bir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir.

ONLUK SAYMA DÜZENİ

Sayı sistemimiz onluk sayma düzenine göredir. Bu düzende çokluklar birlik, onluk, yüzlük, binlik gibi gruplara ayrılır. Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir. Örneğin, 2543 sayısı içinde 3 birlik, 4 onluk, 5 yüzlük, 2 binlik vardır.

RAKAM

Ona kadar olan doğal sayıları gösteren işaretlere rakam denir.
Rakamlar kümesi : R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olarak tanımlanır.
Onluk sistemde on tane rakam kullanılır.

BASAMAK DEĞERİ

Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa göre aldıkları değerlere basamak değeri ya da bağıl değer denir.
Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir.

SAYI DEĞERİ

Rakamların sayı içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan tek başına gösterdiği değere sayı değeri ya da mutlak değeri denir.

ÇÖZÜMLEME

Bir sayının içinde kaç tane birlik, kaç tane onluk, kaç tane yüzlük, kaç tane binlik, … varsa bunları ayırarak toplam biçiminde yazmaya çözümleme denir.

2345 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +
10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

GRUPLAMA

Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir.

2345 = 2000 + 300 + 40 + 5 veya
= 2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik

SAYILARIN ÜSLÜ BİÇİMDE GÖSTERİLMESİ

ÜSLÜ SAYILARIN OKUNUŞU

4 4 üssü 2 (4′ün karesi, 4′ün ikinci kuvveti)
5 5 üssü 3 (5′in kübü, 5′in üçüncü kuvveti)
3 3 üssü 4 (3′ün dördüncü kuvveti)

ÜSSÜN ANLAMI

Üs tabanın kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösterir.

10 = 10 x 10 = 100
5 = 5 x 5 x 5 = 125
4 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256
3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir. 3=3, 7=7, 10=10, 15=15
Üssü 0 olan sayı 1′e eşittir. 80=1, 9=1, 160=1, 0=1
Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir. 7=7, 1000=1000, 64=64, 1=1
1 sayısının bütün kuvvetleri 1′e eşittir. 1=1, 1=1, 1=1
Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken; ortak taban yazılır, üsler toplanıp bir tek üs olarak yazılır.

ÜSLÜ BİÇİMDE ÇÖZÜMLEME

Bir sayı üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10′un üssü şeklinde yazılır.

5679 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)
=(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)

DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA

Sayı doğrusu üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür. Doğal sayılar sıralanırken aralarına küçük ( ) işareti konur.

Küçük < Büyük
Büyük > Küçük

< işaretinin sivri ucuyla gösterdiği sayı diğer taraftaki sayıdan küçüktür.

DÖRT İŞLEM

DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA

AB = olmak üzere, (AB) kümesinin eleman sayısına toplama denir.
A={1,2} ve B={3, 4, 5} ise
s(A) + s(B) = s(AB) = 2 + 4 = 6
Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir. İşlemin sonucuna da toplam denir.
Toplama işlemi, ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır. Aynı türden ve birimleri aynı olan çokluklar toplanabilir.

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

KAPALILIK ÖZELLİĞİ

İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. Buna kapalılık özelliği denir.

3D, 4D için 3 + 4 = 7D dir.
9D, 13D için 9 + 13 = 22D dir.
aD, bD için (a + b)D dir.

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez. Buna toplamada değişme özelliği denir.
3 + 5 = 8 = 5 + 3
aD, bD ise; a + b=b + a dir.

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmez. Bu özelliğe
toplama işleminin birleşme özelliği denir.

3 + (4 + 6) = (3 + 4) + 6 3 + 10 = 7 + 6 13 = 13
aD, bD, cD ise (a + b) + c = a + (b + c) dir.

Çok terimli toplama işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı sağlanır.

ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN

Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir.

5 + 0 = 5
0 + 6 = 6

Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0′dır.

DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA

A = {a,b,c,d,e} B = {d,e}
s(A) = 5 ve s(B) = 2 dir.
s(A) – s(B) = s(C)
5 – 2 = 3 olarak gösterilir. Burada 5 : eksilen; 2 : çıkan 3 : fark olarak adlandırılır.

B A ise A – B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir. Bu farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma işlemi adı verilir.

Çıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır. Sağlaması; a-b=c ise a=b + c olacak şekilde yapılır. Çıkarma işlemi toplamanın tersidir.

ÇIKARMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Kapalılık özelliği yoktur. 5D ve 6D için; 5-6 doğal sayı değildir.
Değişme özelliği yoktur. 6D ve 2D için; 6-2=4D; 2-6 doğal sayı değildir.
Birleşme özelliği yoktur. 7-(5-2) (7-5)-2 7-3 2-2 4 0
Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemine göre etkisiz (birim) eleman yoktur. 3-0=3 olmakla beraber 0-3 3′tür.

DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA

Elemanlarının sayısı bilinen A ve B kümeleri için s(A)=a, s(B)=b ve s(A ) x s( B)=m ise, m doğal sayısına a ile b’nin çarpımı denir. m=a x b biçiminde gösterilir. Çarpma işareti ( x ) ya da( . )’ dır.

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

KAPALILIK ÖZELLİĞİ

İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır denir.

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez. Bu duruma çarpmanın değişme özelliği denir.

4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 4 x 5 = 5 x 4′tür.
aD, bD için; a x b = b x a ‘dır.

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez. Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir.

4D, 5D, 2D için
4 x (5 x 2) = (4 x 5) x 2 4 x 10=20 x 2; 40=40′tır.

ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN

Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir. 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez. 1 sayısına çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı denir.

1 x 5=5 5 x 1=5 5 x 1=1 x 5=5′dir.
aD için a x 1=1 x a=a ‘dır.

YUTAN ELEMAN

Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir. Bu nedenle 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman denir.

4 x 0=0 0 x 4=0 4 x 0=0 x 4=0 ‘dır.
aD için 0 x a=a x 0=0 ‘dır.

ÇARPMANIN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

aD, bD, cD için a x (b + c)=(a x b) + (a x c) ve
aD, bD, cD için a x (b-c)=(a x b) – (a x c) ‘dir.
Bu özelliğe, çarpmanın toplama ya da çıkarma üzerine dağılma özelliği denir.

ÇARPMADA KOLAYLIKLAR

Bir sayıyı 10, 100, 1000, … ile çarpmak için, sayının sağına bir, iki, üç, … sıfır yazılır.

14 x 10 = 140
16 x 100 = 1600
22 x 1000 = 22000
7 x 10000 = 70000
Bir sayıyı 25 ile çarpmak için, sayı 100 ile çarpılır. Çarpım 4′e bölünür.

25 x 36=(36 x 100)/4=900

Bir sayı 50 ile çarpılırken, sayı 100′le çarpılır, çarpım 2′ye bölünür.

78 x 50=(78 x 100)/2=7800/2=3200

Bir sayı 5′le çarpılırken, sayı 10′la çarpılır sonra 2′ye bölünür.

89 x 5=(89 x 10)/2=890/2=445

Bir sayı 9′la çarpılırken, sayı 10′la çarpılır, çarpımdan sayının kendisi çıkarılır.

56 x 9=(56 x 10)-56, 560-56=504

DOĞAL SAYILARDA BÖLME

aD, bD ve b0 olmak üzere, a x b=c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a’nın b’ye bölümü denir. a/b=c veya a:b=c olarak gösterilir.

BÖLMENİN SAĞLAMASI

Sağlama işlemi, Bölünen = (bölen x bölüm) + kalan eşitliğiyle yapılır.

Çarpma ve bölme işlemleri birbirinin tersidir.

BÖLME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Bölme işleminin doğal sayılarda kapalılık özelliği yoktur.

4D, 3D için 4/3=doğal sayı değildir.

Bölme işleminin doğal sayılarda değişme özelliği yoktur.

5D, 15D için, 15/5 5/15

Doğal sayılarda bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.

(24/4)/2 24/(4/2) 6/2 24/2 3 12

Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur.

2/1 1/2 2 0,5

Bir doğal sayının 1′e bölümü kendisine eşittir.

aD için a/1=a dır. 1/1=1, 39/1=39, 3/1=3, 101/1=101

Sıfırın (0) bir sayma sayısına bölümü sıfırdır.

0/a=0 ‘dır. 0/4=0, 0/100=0, 0/15=0

0 hariç, bir doğal sayının kendisine bölümü 1′e eşittir.

aD için a/a=1 ‘dir. 6/6=1, 109/109=1, 10/10=1, 88/88=1

Bir doğal sayı sıfıra bölünemez.

5/0=tanımsız, 12/0=tanımsız

Bir sayıyı 10, 100, 1000 … ile bölmek;

10′a bölerken bir sıfır silinir. 400/10 = 40
100′e bölerken iki sıfır silinir. 200/100 = 2
1000′e bölerken üç sıfır silinir. 3000/1000 = 3

Bölme İşleminde Böleni Bulma

Bölme işleminde Böleni Bulma

bir bölme işleminde böleni nasıl buluruz.

Bölme

bölme ve çıkartma işleminin özellikleri var mıdır

Pratik Matematik

DOĞAL SAYILAR
Sayma sayıları kümesine {1,2,3,…} sıfırı da katarsak doğal sayılar oluşur. Doğal sayılar ‘N’ harfi ile gösterilir:
N={0,1,2,3,…10,…100,…}

SAYI DOĞRUSU
Doğal sayıların sıfırdan başlayarak eşit aralıklarla işaretlendiği doğruya sayı doğrusu denir
Her doğal sayı:
●Solundaki sayıdan büyük,
●Sağındaki sayıdan küçüktür.

ARDIŞIK SAYILAR
Kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara ardışık sayılar denir.
Ardışık doğal sayılar:
1 fazla 1 fazla 1 fazla

0 1 2 3
Ardışık çift doğal sayılar:
2 fazla 2 fazla 2 fazla

0 2 4 6
Ardışık tek doğal sayılar:
2 fazla 2 fazla 2 fazla

1 3 5 7
DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA
●Basamak sayısı diğerinden büyük olan sayı diğerinden büyüktür.
108>87
●Basamak sayıları aynı ise ; en büyük basamaktan başlanarak sırayla aynı adlı basamaklar karşılaştırılır.Aynı basamaktaki sayılardan hangisi büyükse o sayı büyüktür.
685>392

İKİ DOĞAL SAYI ARSINDAKİ SAYILARIN SAYISINI BULMA
İki doğal sayı arasındaki sayıların sayısı şu formülle bulunur:
-1
ÖRNEK 1: 5 ile 15 arasında kaç doğal sayı vardır?
ÇÖZÜM: 15-5=10 10-1=9 tane doğal sayı vardır
ÖRNEK 2: 305 ile 601 arasında kaç doğal sayı vardır?
ÇÖZÜM: 601-305= 296 296-1=295 tane doğal sayı vardır.
ÖRNEK 3: 447 ile 567 arasında kaç doğal sayı vardır?
ÇÖZÜM : 567-447=120 120-1=119 tane doğal sayı vardır.

BASAMAK DEĞERİ
Rakamların sayıda bulunduğu basamağa göre aldığı değere basamak değeri denir.
4 5 2 3 Basamak değeri
3 = 3.1
20 = 2.10
500 = 5.100
4000 = 4.1000
Görüldüğü gibi rakamların basamak değeri,sayı değeri ile bulunduğu basamağın çarpımına eşittir.
Ek Bilgi
*Bir sayının
Birler basamağı 1 artar veya eksilirse sayı 1 artar veya eksilir.
Onlar basamağı 1 artar veya eksilirse sayı 10 artar veya eksilir.
Yüzler basamağı 1 artar veya eksilirse sayı 100 artar veya eksilir.
ÖRNEK 1: 4758 sayısının yüzler,onlar ve birler basamaklarını 1’er artırırsak sayı kaç artmış olur?
ÇÖZÜM: Birler basamağı: 1 artar
Onlar basamağı: 10 artar
+ Yüzler basamağı: 100 artar
O halde sayı : 111 artar.
ÖRNEK 2: 2396 sayısının birler basamağını 3,onlar basamağını 4,yüzler basamağını 2 eksiltirsek sayı kaç eksilir?
ÇÖZÜM : Birler basamağı: 3 eksilir
Onlar basamağı: 40 eksilir
+ Yüzler basamağı: 200 eksilir
O halde sayı : 243 eksilir.
ÖRNEK 3: abc üç basamaklı bir sayıdır. Rakamlarının her birinin sayı değerleri üç artarsa sayı kaç artar?
ÇÖZÜM: Birler basamağı: 3 artar
Onlar basamağı: 30 artar
+ Yüzler basamağı: 300 artar
O halde sayı : 333 artar.

SAYI DEĞERİ
Rakamların sayıda bulunduğu basamağa bağlı olmadan gösterdiği değere sayı değeri denir.
4 5 2 3 Sayı değeri
3
2
5 4
Ek Bilgi
*Bir basamaklı sayıların rakamlarının basamak değerleri ile sayı değerleri aynıdır.
*İki ve daha çok basamaklı sayıların rakamlarının sayı değerleri toplamı sayının kendisine eşit değildir.
ÖRNEK 1: 3948 sayısında 9 rakamının basamak değeri ile sayı değerinin farkı nedir?
ÇÖZÜM : 3948
Basamak değeri : 900
Sayı değeri : 9
O halde fark : 891
ÇİFT DOĞAL SAYILAR
Birler basamağında 0,2,4,6,8 rakamlarından biri bulunan doğal sayılara çift doğal sayılar denir.
Çift doğal sayılar kümesi:
Ç:
Ek Bilgi
* sıfır çift doğal sayıdır.
*Çift doğal sayılar iki ile kalansız bölünürler.
*n N ise , 2n daima çift doğal sayıdır.
TEK DOĞAL SAYILAR
Birler basamağında 1,3,5,7,9 rakamlarından biri bulunan doğal sayılara tek doğal sayılar denir.
Tek doğal sayılar kümesi:
T:
Ek Bilgi
*En küçük tek doğal sayı 1’dir.
*Tek doğal sayılar 2 ile bölündüğünde 1 kalanını verir.
*n N ise, 2n+1 daima tek doğal sayıdır.

Ek Bilgi
*Ç + Ç = Ç *Ç . Ç = Ç
*Ç + T = T *T . Ç = Ç
*T + T = Ç *T . T = T
ÖRNEK 1: 2n + 4 sayısı tek doğal sayımıdır?
ÇÖZÜM : 2 . n + 4

Ç + Ç = Ç
2n + 4 çift doğal sayıdır.
ÖRNEK 2:x tek sayı ise 3x + 4 sayısı tek doğal sayımıdır?
ÇÖZÜM : 3 . x + 3
↓ ↓ ↓
T . T + T

T + T = Ç
3x + 3 çift doğal sayıdır.
ÖRNEK 3: x çift y tek doğal sayı ise ,
x2 +y2 çift doğal sayımıdır?
ÇÖZÜM : x2 + y2
↓ ↓
x . x + y . y
↓ ↓ ↓ ↓
Ç . Ç + T . T

Ç + T = T
x2 + y2 tek doğal sayıdır.
İKİ TEK DOĞAL SAYI ARASINDA KAÇ TEK DOĞAL SAYI VARDIR?
ÖRNEK : 7 ile 29 tek doğal sayıları arasında kaç tek doğal sayı vardır?
Uyarı
İki sayı arasındaki farkın yarısının bir eksiği alınır.
Büyük sayı – Küçük sayı 1
2
ÇÖZÜM : 29 – 7 = 22 22 : 2 = 11
11 – 1 = 10
İKİ ÇİFT DOĞAL SAYI ARASINDA KAÇ ÇİFT DOĞAL SAYI VARDIR?
ÖRNEK : 8 ile 40 doğal sayıları arasında kaç doğal sayı vardır?
Uyarı
İki sayı arasındaki farkın yarısının bir eksiği alınır.
Büyük sayı – Küçük sayı
2
ÇÖZÜM : 40 – 8 = 32 32 : 2 = 16
16 – 1 = 15

ÜSLÜ DOĞAL SAYILAR
23, 45, 56, şeklindeki sayılara üslü doğal sayılar denir.
Üslü Sayıların Özellikleri
1-Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir.
2 = 21 5 = 51 24 = 241
2-Üssü 0 olan sayma sayıları 1 e eşittir
20= 1 50 = 1 00 ≠ 1
3-Üssü bir olan sayılar tabana eşittir.
21= 2 51= 5 01= 1
4-1 sayısının bütün kuvvetleri 1 dir.
10= 1 16= 1 1567 =1
5-Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken ortak taban yazılır, sonra üsler toplanıp üs olarak yazılır.
Bir Doğal Sayıyı Üslü Biçimde Yazma
ÖRNEK : 5 . 5 = 25

1.çarpan 2.çarpan çarpım
Bu örneği incelediğimizde birinci ve ikinci çarpanların eşit olduğunu görüyoruz.O halde ; 25 sayısı , 5 in kendisi ile çarpımı (karesi) demektir.Bu çarpma işlemi ‘52 = 5 . 5 = 25 ’ şeklinde yazılır.‘5 in karesi 25 tir ’ diye okunur.Bu çarpma işleminde ; 5 e taban , 2 ye üs , 25 e çarpım denir.
Üslü Sayılarda Sıralama
ÖRNEK 1 : 20,21,22,23,24,25 sayılarını sıralayınız.
ÇÖZÜM: 20= 1 , 21= 2 , 22= 4 , 23=8 ,24= 16 , 25= 32 dir. 1 85 . 85 eşitsizliğini sağlayan en büyük b doğal sayısı kaçtır ?
ÇÖZÜM 3:
b > 85 . 85
b > 7225
b { 7226 , 7227 , 7228 ,…}

en küçük
b = 7226
DOĞAL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
6 . = 30 işleminde ‘ ‘ yerine yazılacak sayının ‘ 5 ‘ olduğunu biliyoruz.
Bu işlemde 5 i bulmak için yapılan işleme bölme işlemi denir.
Kalansız Bölme
Kalanı sıfır olan bölmeye kalansız bölme denir.
Bölünen 12 3 Bölen
12 4 Bölüm
0 Kalan
Yukarıdaki bölme işleminde ;
12 = 3 . 4
olur
Bölünen = Bölen . Bölüm
Kalanlı Bölme
Kalanı sıfırdan farklı olan bölmeye kalanlı bölme denir.
Bölünen 17 5 Bölen
15 3 Bölüm
2 Kalan
Yukarıdaki bölme işleminde;
17 = ( 5 . 3 ) + 2

Bölünen = ( Bölen . Bölüm) + Kalan
Ek Bilgi
*Kalanlı bölmede kalan daima bölenden küçük bir sayıdır.
*Bölmenin sağlaması;

Bölünen = ( Bölen . Bölüm) + Kalan
Bölme İşleminin Özellikleri
Kapalılık Özelliği
Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin kapalılık özelliği yoktur.Çünkü her bölme işleminin sonucu doğal sayı değildir.
8 : 4 = 2 N
4 : 8 = 0,5 N

Değişme Özelliği
Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin değişme özelliği yoktur
6 : 3 = 2
‘ dır.

3 : 6 = 0,5
Birleşme Özelliği
Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.
( 8 : 4 ) : 2 8 : ( 4 : 2 )

2 : 2 8 : 2

1 4
Sonuçlar farklı olduğundan ;

olur.
Etkisiz Eleman
Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur.
7 : 1 = 7 N
7 : 1 ≠ 1 : 7 ‘dir.
1 : 7 = 7 değil.

0 : 5 = 0 değil
0 : 5 ≠ 5 : 0 ‘ dir.
5 : 0 = 0 değil
‘0’ hariç her doğal sayının kendisine bölümü 1’ e eşittir.
● 5 : 5 = 1
● 17 : 17 = 1
● 38 : 38 = 1
Bir doğal sayının ‘1’ e bölümü , sayının kendisine eşittir.
● 0 : 1 = 0
● 9 : 1 = 9
● 7490 : 1 = 7490
‘0’ ın sayma sayılarına bölümü sıfırdır.
● 0 : 5 = 0
● 0 : 7891 = 0
● 0 : 2746 = 0
Bir doğal sayı sıfıra bölünemez.
● 0 : 0 = ?
Bölünemez.
● 25 : 0 = ?
10 , 100 , 1000 , … ile bölmek;
● 10 ‘ a bölerken bir sıfır silinir.
● 100 ’ e bölerken iki sıfır silinir.
● 1000 ‘ e bölerken üç sıfır silinir .

ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ÖRNEK 1: 255 : x = 51 işleminde x yerine hangi sayı yazılmalıdır?
ÇÖZÜM 1:
x yerine yazılacak sayıyı bölme işleminin sağlaması eşitliğinden yararlanarak bulalım.
Bölünen = Bölen . Bölüm

255 = x . 51
Bu eşitlikteki işlem çarpmadır.Çarpmanın ters işlemi bölme olduğundan x yerine yazılacak sayıyı bulmak için bölme yapılır.
255 = x . 51
x = 255 : 51
x = 51 olur.
ÖRNEK 2:Bir bölme işleminde bölünenle bölenin farkı 70 bölüm 6 ‘ dır. Bölen sayı kaçtır?
ÇÖZÜM 2:
Bölünen = Bölen . Bölüm

Bölünen = 6 . Bölüm
Bölünen = 6 . Bölüm ( Bölünen bölümün
6 katıdır.)

Fark = 70

Bölünen sayı:
Bölen sayı :
Bölen 1 kat ise , bölünen 6 kattır.
6 kat – 1 kat = 5 kat farktır.
5 kat = 70
bölen = 1 kat = 70 : 5
bölen = 14
ÖRNEK 3: Kalansız bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 300 , bölüm 5 ise bölen kaçtır?
ÇÖZÜM 3:
Bölünen + Bölen = 300

Bölüm . Bölen + Bölen = 300

5 . Bölen + Bölen = 300

6 Bölen = 300
Bölen = 300 : 6
Bölen = 50

ÖRNEK 4: Bir bölme işleminde bölünen 305 , bölüm 30 , kalan 5 ise bölen kaçtır?
ÇÖZÜM 4:
Bölünen = ( Bölen . Bölüm ) + Kalan

305 = ( Bölen . 30 ) + 5
305 – 5 = Bölen . 30 ( + ‘nın
– ‘ dir.)
300 = Bölen . 30
Bölen = 300 : 30 (çarpmanın tersi bölme)
Bölen = 10 olur.
144 36
12 3
16 ?
ÖRNEK 5:

Yukarıdaki sayı matrisinde sayılar soldan sağa bir kurala ,yukarıdan aşağıya başka bir kurala göre sıralanmıştır.Buna göre ? yerine hangi sayı gelmelidir?
144 36 A
12 3
16 ?
1 . sütun 2 . sütun 3 . sütun
ÇÖZÜM 5:
: 4 : 4

1 . Satır : 144 : 4 = 36
2 . Satır : 12 : 4 = 3
Satır kuralı : 4’e bölmedir.
A = 36 : 4 = 9 olmalıdır.
2 . Sütun : 36 : 3 = 12
1 . Sütun : 144 : 3 = 48 ve 48 : 3 = 16 ‘ dır.
Sütun kuralı : 3’ e bölmedir.
? = 3 : 3 = 1

DOĞAL SAYILARLA İLGİLİ PROBLEMLER
VE ÇÖZÜMLERİ

1 -) Üç kardeşin yaşları toplamı 52 dir.Ortanca küçükten 3 yaş büyük , büyükten 10 yaş küçük ise, ortanca kaç yaşındadır?
ÇÖZÜM:
3 + 3 + 10 = 16 ( fazlalıklar toplamı)
52 – 16 = 36
36 : 3 = 12 küçüğün yaşı
12 + 3 = 15 ortancanın yaşı

2 -) Canan ile Nur ‘ un paraları toplamı 1200000 TL ‘ dir.Canan Nur ‘a 200000 TL verirse paraları eşit oluyor. Canan parası kaç TL ‘ dir ?
ÇÖZÜM:
1200000 : 2 = 600000 (paraları eşit olsaydı her birine düşen pay)
600000 + 200000 = 800000 Canan’ ın parası)

3 -) Bir alışverişte, 5 düzine bardak alınmıştır.Bardakların tanesi 125 TL daha ucuz olsaydı 6 düzine bardak alınabilecekti.Buna göre bardağın bir tanesi kaç liraya alınmıştır ?
ÇÖZÜM:
5 düzine = 5 . 12 = 60 adet
6 düzine = 6 . 12 = 72 adet
72 – 60 = 12
60 . 125 = 7500 ( 12 bardak parası )
7500 : 12 = 625 ( ucuz olsaydı 1 bardağın parası )
625 + 125 = 750 ( 1 bardak parası )

4 -) A ve B şehirleri arası 720 km ‘dir.
A’ dan B’ ye doğru aynı anda bir kamyon ile bir otobüs hareket ediyor.Kamyonun saatteki hızı 60 km , otobüsün saatteki hızı 90 km’ dir.Otobüs B şehrine vardığında kamyonun kaç km yolu vardır ?
ÇÖZÜM:
720 : 90 = 8 ( otobüsün yolculuğu bittiği zaman)
60 . 8 = 480 (otobüsün yolculuğu bittiğinde kamyon gittiği yol)
720 – 480 = 240 ( kalan yol )

5 -) Aralarında 800 km uzaklık bulunan iki şehirden karşılıklı hareket eden iki arabadan birinin saatteki hızı 70 km , diğerininki ise 90 km ‘ dir.Bu iki araba kaç saat sonra karşılaşırlar ?
ÇÖZÜM:
90 + 70 = 160 ( ikisinin bir saatte kât ettiği yol )
800 : 160 = 5 ( karşılaşacakları zaman )

6 -)Bir sütçü litresi 200000 TL
olan 10 litre süte , 6 litre başka bir süt katarak 2900000 TL ‘ lik bir karışım hazırlıyor. Karışımdaki 6 litrelik sütün litresi kaç TL ‘ dir ?
ÇÖZÜM:
200000 . 10 = 2000000 ( 10 litrenin tutarı )
2900000 – 2000000 = 900000 ( 6 litrenin tutarı )
900000 : 6 = 150000 (1 litrenin tutarı )

7 -) Bir şoför radyatörüne her iki litre su için bir litre alkol koymaktadır.18 litrelik bir karışım için bu şoförün kaç litre alkole ihtiyacı vardır ?
ÇÖZÜM:
2 litre su + 1 litre alkol = 3 litre karışım
18 litre karşımda ; 18 : 3 = 6 adet var
6 . 1 = 6 ( şoförün ihtiyaç duyduğu alkol miktarı)

8 -) Bir bakkal kilogramı 800000 TL olan nohuttan 6 kg , kilogramı 700000 TL olan nohuttan 4 kg , kg ‘ mı 600000 TL olan nohuttan 10 kg karıştırarak bir karışım yapıyor. karışımın kilogramı kaç TL olur ?
ÇÖZÜM:
800000 . 6 = 4800000
700000 . 4 = 2800000
600000 . 10 = 6000000
4800000 + 2800000 +6000000=13600000
10 + 4 + 6 = 20
13600000 : 20 = 680000

9 -) Can , Ercan ve Kayacan ‘ın yaşlarının aritmetik ortalaması 16 ‘ dır. Can 15 , Ercan 17 yaşında olduğuna göre Kayacan kaç yaşındadır ?
ÇÖZÜM:
Üçünün yaş ortalaması = 16
Üçünün yaşları toplamı = 16 . 3 = 48
Can ve Ercan ‘ın yaşları toplamı =
15 + 17 = 32
Kayacan ‘ın yaşı = 48 – 32=16

10 -) Bir boyacı iki günde 35 m2 duvar boyuyor. Çırağı ise üç günde 30 m2 duvar boyuyor.İkisi birlikte 12 gün çalışırlarsa kaç m2 duvar boyarlar ?
ÇÖZÜM:
Usta 12 günde ; 12 : 2 = 6
6 . 35 = 210 m2 boyar
Çırak 12 günde ; 12 : 3 = 4
4 . 30 = 120 m2 boyar
İkisi beraber ; 210 + 120 = 330 m2 boyar

11 -) Mevcudu 42 kişi olan bir sınıf , gezi yapmak için bir otobüs kiraladı.
Bu geziden 12 kişi vazgeçince ;
geziye katılanların her biri , payına düşenden 3200000 TL fazla ödedi. Buna göre otobüs kaç TL ‘ye kiralanmıştır ?
ÇÖZÜM:
Geziye katılacaklardan 12 kişi ayrıldığında , 42 – 12 = 32 kişi kalıyor. Her biri 3200000 TL fazlalığı , 12 kişinin ödemesi gereken para olarak ödüyor.
30 . 3200000 = 96000000
96000000 : 12 = 8000000 ( Ayrılan olmasaydı herkesin ödeyeceği para )
Otobüsün toplam kirası =
42 . 8000000 = 336000000 TL veya
8000000 + 3200000 = 11200000 TL
( Ayrılmayan kişilerin ödeyeceği para)
11200000 . 30 = 336000000 TL ‘ dir.

12 -) 34 = y + 40 ise y ‘nin değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 ‘ dir.
81 = y + 40 ise
y = 81 – 40
y = 41 olur.

13 -) 160 tane ceviz üç kardeş arasında paylaşılıyor.Büyük kardeş , küçük kardeşten 30 fazla alıyor. Ortanca kardeş ise , büyük kardeşten 10 ceviz az alıyor. Buna göre , her birinin payına düşen cevizi bulunuz.
ÇÖZÜM:
120 cevizin paylaşımı ;

Küçük kardeş :
Ortanca kardeş:
Büyük kardeş :

30 ceviz
Büyük kardeş ortancadan 20 tane ceviz,
küçükten 30 tane ceviz fazla alırsa ;
ortanca kardeş , küçükten 30 – 20 = 10
ceviz fazla alır. Fazlalıkların toplamını
bütünden çıkarırsak , paylar eşitlenir.
30 + 10 = 40 ( fazlalıklar)
160 – 40 = 120
120 : 3 = 40 ( küçük kardeşin payı)
40 + 10 = 50 ( ortanca kardeşin payı)
50 + 20 = 70 ( büyük kardeşin payı)

14 -) Saatteki hızları ortalama 70 km / sa
ve 80 km / sa olan iki otobüs aynı şehirden , aynı anda , zıt yönde , farklı şehirlere gitmek üzere hareket ediyorlar. 5 saat sonra , aralarındaki uzaklık kaç km olur ?
ÇÖZÜM:
70 + 80 = 150 ( ikisinin 1 saatte aldığı yol )
150 . 5 = 750 ( 5 saat sonunda aralarındaki uzaklık)

15 -) 98 ile 263 sayıları arasında kaç tana doğal sayı vardır ?
ÇÖZÜM:
( Büyük sayı – Küçük sayı ) – 1
( 263 – 98 ) – 1

263 – 98 = 165
165 – 1 = 164

alıntıdır…

Etiketler:BÖLME işleminin özellikleri bölme işleminin tanımı bölme işleminin özellikleri nelerdir bölme işlemi özellikleri bölme işleminin önemi bölmenin özellikleri bölme işlemi tanımı bölme işleminin kuralları bölme işleminin açıklaması bölme işlemi kuralları bölme işlemin özellikleri bölme işleminde değişme özelliği varmıdır çıkarma işleminin tanımı bölme işlemini önemi nedir matematikte bölme işleminin tanımı bölme işleminin tanım bölme işlmei tanım çıkarma işleminin özellikleri nelerdir bölme işleminin tanımı nedir tek ve çift sayıların bölme özelliği
Bölme kuralı: Bölme kuralı, iki fonksiyonun bölümünün türevinin hesaplanmasında kullanılır. Daha genel olan çarpma kuralının özel bir durumudur.
Bölme algoritması: Bölme algoritmasının temeli ilkokulda öğretilen kalem kâğıt yöntemidir. Bu yöntemin bilgisayara aktarılmasında ardışık toplama, çıkarma ve kaydırmalar vardır.
Bölmepınar, Çavdır: Bölmepınar (Dengere), Burdur ilinin Çavdır ilçesine bağlı bir köyüdür.
Bölmeçalı, Gürpınar: Bölmeçalı (Kürtçe: Paga Gedîk) Van ilinin Gürpınar ilçesine bağlı Ertoşi aşiretinin Mamedpîran kolu mensuplarının kaldığı bir köydür.
Bölmeçayırı, Çarşamba: Bölmeçayırı, Samsun ilinin Çarşamba ilçesine bağlı bir köydür.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir