Kök 5in Yaklaşık Değeri

a2 acaba bunu ele hangi nin vs..

Kareköklü Sayılar Geniş Konu

KAREKÖKLÜ SAYILAR

Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır.
Karesi 2 olan c doğal sayısını ele alalım.

a2 = 2 ise a sayısını a = şeklinde gösterebilir ve ‘karekök iki ‘diye okuyabiliriz.Acaba bu
sayısı hangi sayılar arasındadır?Bunu inceleyelim:
12 =1 1=1
(1,5)2 = 1,5 1,5=2.25 tir
O halde sayısı;1< 0)
Örnek:

( )4 = 4 = = 5.5 = 25

NOT: ( + ). ( – ) = ( )2 – ( )2 = a – b
Örnek:

( + ). ( – ) = ( )2 – ( )2 = 7-3 = 4

3)Bölme
Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır.Sadeleştirmeler yapılıp,mümkünse kök dışına çıkarılır.
a,b R+ ve b 0 ise / = ve / = dır.
Örnekler:

- / =
- : = = = /2
- / = =

PAYDAYI RASYONEL YAPMA

Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifadede, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapmak denir.Paydayı kökten kurtarmak için ;pay ve paydayı ,paydanın eşleniği ile çarparız.

nın eşleniği ve . =a dır.
( + ) nin eşleniği ( – ) ve ( + ). ( – ) = a – b dir.
( – ) nin eşleniği ( + ) dir.
( – b) nin eşleniği ( + b) dir.
– nin eşleniği 2 + + 2 dir.
+ nin eşleniği 2 – + 2 dir.
nin eşleniği dir.
m nin eşleniği n-m

1)Paydada varsa:
Pay ve paydayı ile çarparız.

Örnekler:

- 1/ = 1. / . = /2
- 5/ = 5. / . = /10 = / 2

2)Paydada + varsa :
Pay ve paydayı – ile çarparız.

Örnek:

5 5. (2 – )
=
( ). (2 – )

= 5. (2 – )
22 – ( )2

= 10 –

4 – 3

=10 – = 5(2 – )

BAZI KURALLAR:

1) n = an/m

2) = x , xm =a

3) . =

4) : =

5) – + = (a – b + c)

6) a > 0, b > 0, c > 0 m,n,k pozitif tam sayıdır.
2 . b = an

7) =

8) = 2. bk.c

9) =

10) =

11)( )n = a

12) ( )m = m

13) a R+ ise = n. b

14) p = =

15) =x ise x= 1+
2

16) =a+1

17) k =

Kareköklü Sayılarda Toplama Ve Çıkarma İşlemi


Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken kök içileri çok önemlidir.
Sadece kök içleri aynı olan sayılar birbirleriyle toplanır veya çıkartılabilir.

Kural ise aynı kesirlerin toplama ve çıkarma işlemine benzer.
Nasıl ki kesirler toplaıp çıkartılırken paydalar eşitlenip sabit kalıyorsa, köklü sayılarda da kök içleri aynı olursa işlem yapılabilir. Sonuç bulunurken kök içleri değişmez.

Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

* Yukarıdaki 1. örnekte kök içi aynı olan iki sayının toplamı mevcut. Görüldüğü gibi sadece kök dışları toplanıyor. Kök içleri ise toplamadan etkilenmiyor.Sabit kalıyor.

* Yukarıdaki 2. örnekte kök içlerine baktığımızda hem kök içi 7 var hem de kök içi 2 var.

Kök içi 2 olanları bir işlem yapıyoruz. Kök içi 7 olanları bir işlem yapıyoruz.

ikinci örneğin ikinci adımında zaten işlemimiz bitiyor. Daha fazla devam edemiyoruz.

* Üçüncü örnekte ise iki sayının da kök içleri farklı. Bunların kök içlerini nasıl aynı yapabiliriz ? diye düşünmeliyiz. Sonraki adımda da olduğu gibi kök 18 i öyle bir çarpanlarına ayırmalıyız ki, içlerinden biri 2 olmalı. 9.2 şeklinde yazdığımızda istediğimize ulaşmış olabiliriz.
* Sonrasındaki adımda da olduğu gibi 9 kök içinden dışarı 3 olarak çıkar .
* Sonrasında ise artık kök içleri aynı olduğu için işlemimize devam edebiliriz.
Toplama ve çıkarma işlemini beraber anlatma nedenimiz işlem özelliklerinin aynı olması.

Kök içleri aynı olduktan sonra, kök dışındaki sayılarla tam sayılarda olduğu gibi 4 işlem yapılır.

işaretler aynı ise toplanır, büyük sayının işareti yazılır.

> Kareköklü İfadeler

n  Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = a şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur.

Örnekler:
• n = 2 için a : Karekök a,
• n = 3 için a : Küpkök a,
• n = 4 için a : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur
Not: Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.
N  Z+ olmak üzere a için a0 olmalıdır.

Örnekler
• x4 = -16 ise x  R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.
-16  R, -7  R fakat
x3 = -8 ise x = -8  R dir.

Soru-1
A = (x + x-3 )/(1 + 5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?

Çözüm
x-3 ve 5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,
x-3  0 ve 5-x  0
 x3 ve 5x
 3  x  5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.
Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması

a = am/n dir.

Örnek:
• 8 = 23 = 23/4, -2 = (-2)1/3 tür.
Soru-2
2x = (0,5)2x-1 ise x kaçtır?

Çözüm
2x = (0,5)2x-1  2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)
 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)
 2x/3 = 2(-2x+1)/(2)
 x/3 = (1 – 2x)/(2)
 x = 8/3 dir.
Köklü İfadenin Üssünün Alınması
Tanımlı olduğu durumlarda,

(a )m = am

Örnekler:
• (-2 )4 = (-2)4 = 16
• (2 )3 = 23 = 8 dir
Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması
Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.
n  Z+ olmak üzere,

a , n tek sayı
an =
a , n çift sayı

Örnekler:
• 125 = 53 = 5,
• -8 = (-2)3 = -2
• 1/32 = (1/2)5 = ½
• 16 = 24 = 2 = 2
• (3 – 2)2 = 3 – 2 olur.
Burada 3 – 2  0 olduğundan,
3 – 2 = -(3 – 2) = 2 – 3
•26 = (22)3 = 4
•27/32 = (3.32)/(2.42) = 3/43/2

Soru-3
243 / 0,0048 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
243 / 0,0048 = 3.34 / 48.10-4 = 3.3 / 3.24.(10-1)4
= 3.3 / 2.10-1.3
= 3.10 / 2 = 15 tir.

Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması

N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.

a/c . b = (an.b)/(cn)

Not: n çift sayı ise a/c  0 olmalıdır.

Örnekler:
• 2.3/16 = (3.25)/(16) = 6
• x.y.1/x2y2 = x3y3/x2y2 = xy
• -1/3 . 27 = -27/34 = -1/3 tür.

Soru-4
A=(5-3)7+35 olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
5-3  0 olduğundan,
A = (5 – 3)7+35
= -(3-5)7+35
= -(3-5)2 .(7+35)
= -(14-65)(7+35)
= -2(7-35).(7+35)
= -2
= -2.4 = -22 dir.

Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme
Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
k  Z+ olmak üzere

an = an.k = an/k

Örnekler:
• 32 = 25 = 2
• 3 = 32 = 9
• -2 = -2 = -24 = -16
• (-2)6 = 26 = 26 = 2 dir.

Soru-5
x = 2 , y = 3 , ve z = 5
sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
Çözüm
X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:
x = 2 = 26 = 264
y = 3 = 34 = 81
z = 5 = 53 = 125 ve
1258164 olduğundan zyx tir.

Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.
xa + y a – z a = (x+y-z)a gibi.

Örnekler:
• 3 + 2 (köklerin içindeki sayılar farklı)
• 7 + 7 (köklerin kuvvetleri farklı)
• 35 +5 -25 = (3+2-1)5 = 25 tir.

Soru-6
48 + 12 – 27/4 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
48 + 12 – 27/4 = 3.42 + 3.22 – (3.32)/(22)
= 43 + 23 – 3/23
= (4+2-3/2)3 = 9/23 tür.

Soru-7
8 + -128 + 16 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
8 + -128 + 16 = 23 + 2.(-4)3 + 24
= 2 – 42 + 2
= (1-4+1)2
= -22

Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme
Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.
Tanımlı olduğu durumlarda:

a . b = a.b
a / b = a/b

Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.
a . b = am . bn = am.bn
a / b = am / bn = am/bn (b0) dir.

Örnek:
• (2 . 3) / (5 ) = (2.3)/(5) = 6/5 tir.

Soru-7
2 . 16 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Köklerin kuvvetleri 3.5=15’te eşitlenirse,
2 . 16 = 2 . 24
= 25 . 24.3
= 25 . 212 = 217
= 215 . 22 = 24 tür.

Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)
1-) n  m, b  0 olmak üzere, a/bm şeklindeki ifadelerde pay ve payda bn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır.
a / bm = (a / bm ) . (bn-m / bn-m) = (a . bn-m) / (b) dir.

Örnekler
• a/b = (a/b) . (b/b) = (ab)/(b)
• 1/32 = (1/25) . (22/22) = 4/2
• 1 / (2.3) = . = (4.3)/(2.3) = (4.3)/
2-)a/(b-c) şeklindeki ifadelerde pay ve payda b+c ile,
a/(b+c) şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b-c ile çarpılır.
(x-y)(x+y) = x2 – y2 olduğundan
(b – c)(b + c) = (b)2 – (c)2 = b – c dir.

Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur.
a/(b-c) = . = /
a/(b+c) = . = / dir.

Örnek:
• 1/(5 – 2) = . = / = 5 + 2
• 2/(5 + 3) = . = / = 5-3
Soru-8
3/4-7 ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
3/4-7 = (3/4-7).(4+7)/(4+7)
= (34+7)/42 – (7)2 = (34+7)/9
= 4+7 dir.

Not: n  Z+ olmak üzere, paydada a-b ifadesi varsa pay ve payda a+b ile,paydada a+b ifadesi varsa pay ve payda a-b ile çarpılır.

Soru-8
1/(2-1) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
1/(2-1) = .
= / = (2 + 1) / (2 – 1)
= .
= (2+1)(2+1) dir.
3-) a/b – c şeklindeki ifadelerde pay ve payda b2 + bc + c2 ile çarpılır.
(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
(b – c )(b2 + bc + c2 ) = (b )3 – (c )3 = b – c dir.
Bu şekilde paydada iki küp farkı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
a / (b – c ) = .
= /
a/b + c şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b2 – bc + c2 ile çarpılır.
(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
(b + c )(b2 – bc + c2 ) = (b )3 + (c )3 = b + c dir.
Bu şekilde paydada iki küp toplamı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
a / (b + c ) =
.
= /

Örnek:
• 1 / (5 – 3 ) = .
= /
= (25 + 15 + 9 ) / 2

Soru-10
1 / (9 + 6 + 4) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
1/(9+6+4) = .
= /

Üslü Sayılarda Çarpma Ve Bölme İşlemi

Üslü Sayılarda Çarpma Ve Bölme İşlemi


Yukarıdaki birinci bölüm örneklerinde ispatlama yapılmıştır.

ilk örnekte tabandaki 2 ler kuvvetleri olan 3 ve 4 kadar yan yana çarpılmış, sonra tekrar sayılmıştır.Sayıldığında ise 7 tane 2 nin çarpımı olduğu görülmüş ve yerlerine 2 üzeri 7 yazılmıştır.

Bir alttaki örnekte de 10 için aynı işlem yapılmış ve bir kural getirilmiştir.

2 üslü sayı çarpılırken sadece üsler toplanır, tabanlardan ise bir tanesi alta yazılır.Tabiki bu sadece tabanlar eşitken geçerlidir.

2. bölümdeki örneklerde buna göre örnekler çözülmüştür.

Yine, yukarıdaki birinci bölümde ispatlama yaptık.

iki tane tabanı aynı olan üslü sayıyı birbirine böldük.Pay ve paydadaki 6 nın kuvvetlerini uzunca yazdık.Sonra ise yukarıdaki 3 tane 6 ile alttaki 3 tane 6 yı sadeleştirdik.Sonuç 6 çıktı.

Benzer işlemi altındaki örnek için de yaptık 10 lardan 2 tanesi sadeleşti.Bunlardan şöyle bir sonuç çıkardık.

Dikkatle bakarsak üsttekinin kuvvetinden alttakini kuvvetini çıkardığımızda aynı sonuç bulunmakta.

Yani; tabanları aynı olan 2 tane üslü sayı birbirine bölünürken; üsttekinin kuvvetinden alttakinin kuvveti çıkartılır ve tabanın üzerine sonuç yazılır.

Zaten 2. bölümdeki örnekte de bu yapılmıştır.

6 nın kuvvetleri 3 ve 7 dir. üstteki 3 olduğundan 3 ten 7 yi çıkardık ve -4 olan sonucu 6 nın üzerine yazdık.

Bir altta da aynı işlem yapıldı.

Sonuç:

1. Tabanları eşit iki üslü sayı çarpılırken kuvvetler ( üsler ) birbiriyle toplanır ve tabanın birinin üzerine yazılır.
2. Tabanları eşit iki üslü sayı bölünürken üsttekinin kuvvetinden alttakinin kuvveti çıkartılır ve tabanlardan birinin üzerine yazılır.

Kareköklü Sayılarla İlgili Sorular Ve Cevaplar

Kareköklü sayılarla ilgili sorular ve cevaplar

Sponsorlu Bağlantılar
Aramalar: kok 5 in degeri kök 5\in yaklaşık değeri 5 sayısının yaklaşık değeri kök 5in yaklaşık değeri paydayı kökten çıkarma 10 tane soru ve cevabı
Etiketler:kareköklü sayılara örnekler kök 5in yaklaşık değeri mustang küp kokten kurtarma karekök örnek işlemler iç içe kök n sayının kuvveti içi içe sonsuz karekök paydayı kökten kurtarma kareköklü sayılar içiçe kökler kök3 kök3-kök3 kök3... sonsuz köklü sayılarda genişletme iç içe işlemler karekök kareköklü örnekler iç içe kök örnekleri kareköklü sayılarda çıkarma işlemi örnekleri iç içe karekök türevi köklü ifadelerde i

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir