Özalt Küme Nedir

Sponsorlu Bağlantılar
ahmet ali bu genel kabul mehmet ortak saydia tam Özalt Küme Nedir Küme İşlemleri Ve Özellikleri lise 1 kümeler özalt küme nedir küme işlemleri ve ..

Kümeler

KÜMELER

Küme matematikte tanımsız olarak kabul edilen kavramlarından biridir. Ancak sezgisi olarak kümenin ne ifade ettiği de anlaşılmalıdır.
Belirli ve birbirinden farklı nesnelerin küme oluşturduğunu anlarız.
Kümeler genel olarak “A,B,C…” gibi büyük harflerle gösterilir.
Elemanları dediğimiz nesneleri de küçük harflerle gösterilir. Bir “A” kümesine ait “a” elemanı “a Î A” şeklinde yazılır.

Kümelerin Gösterimi

1.Liste Yöntemi:

Kümeye ait olan elemanlari açık olarak belirtme yöntemidir.Kümeye ait olan öğeler kümenin içersine yazılarak gösterilir.

Örnek: A={ Ahmet , Ali , Mehmet , a , b , c }

2.Ortak Özellik Yöntemi:

Bir kümenin özelliklerini belirterek yazma yöntemidir. Küme ortrak özellik yöntemi ile; { x : x… koşulunu sağlar } = {x | x…. koşulunu sağlar } biçiminde gösterilir.

Örnek: A={x | x , 6’nın pozitif tam böleni ve x Î Z } kümesini liste yöntemiyle gösterelim.

A = { 1 , 2 , 3 , 6 }

3.Şema Yöntemi (Venn Şeması)

Küme öğelerinin kapalı bir şekil içersinde gösterme yöntemidir.

Örnek: A={ x : | x – 2 | £ 1 , x Î } kümesinin elemanlarini şema yöntemiyle yazalım.
| x – 2 | £ 1 A
-1 £ x – 2 £ 1
£ x £ 3
A={ 1 , 2 3 }

SONLU ve SONSUZ KÜMELER:

Tanım: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme,eleman sayısı sonlu olmayan kümeye sonsuzküme denir.

Örnek: A = { x : -1 £ x < 20 , x Î Z } kümesinde s(A) =21 oduğundan A kümesi sonlu kümedir.

A = { x: -2 £ x £ 4 , x Î Z } kümesinin sonlu saydia elemanı yoktu. Bu nedenle A kümesi sonsuz kümedir.

Hatırlatma
Doğal sayılar kümesi “N” ile gösterilir.
N = { 0 , 1 , 2 , … , n , … }
Tam sayılar kümesi “Z” ile gösterilir.
Z = { … , -n , … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , … , n , … }
Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.
Q = { a/b: a Î Z , b Î Z , b ¹ 0 }
Reel (Gerçek,Gerçel Sayılar) kümesi “R” ile gösterilir.

BOŞ KÜME:

Tanım: Elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir. f veya { } sembollerinden biriyle gösterilir.

Örnek: A = { x: x = – 1 , x Î R } kümesi boş kümedir. Çünkü karesi “-1” olan reel sayı yoktur.

UYARI:
{ f } boş küme değildir , tek elemanlı kümedir.
{ 0 } kümesi boş küme değildir.
Boş küme bir tanedir.

EŞİT KÜMELER:

Tanım: Aynı elemanlardan oluşan kümeye eşit kümeler denir. A ve B eşit kümeler ise “ A = B “ ile , A ve B eşit değilse “ A ¹ B “ ile gösterilir.

Örnek: A = { a , b , 2 } , B = { b , 2 , a }
A = B ‘ dir

DENK KÜMELER:

Tanım: Eleman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir.

Örnek: A= { 1 , 0 , -1 } B = { a , b , c } A ¹ B dir fakat s(A) = s(B) = 3 olduğundan A ve B denk kümelerdir.

UYARI: Liste yöntemi ile yazılan bir kümede yazılış sırası değiştirğinde küme değişmez.

ALT KÜME:

Bir “A” kümesinde bulunan B
Her eleman aynı zamanda “B” kü-
mesinde eleman ise “A” kümesi “B” A
kümesinin alt kümesidir denir ve
“A Ì B “ ifadesi ile gösterilir.
“A Ì B “ ifadesi A alt küme B yada
“B” “A’yı” kapsar biçiminde okunur.
“x Î A , x Î B ise A Ì B ‘dir.
A Ì B

Örnek: A = { -1 , 2 , 3 } B = { -1 , 3 , 6 , 5 , 2 , 7 } ise
A Ì B ‘dir.

Alt Kümenin Özellikleri:
Her “ A” kümesi için F Ì A ‘dır.(Çünkü F ‘ye ait olup A ‘ ya ait olmayan eleman yoktur.
Her “A” kümesi için A Ì A ‘dır. (Her x Î A için x Î A olduğundan A Ì A ‘dır. )
A , B , C kümeleri için ( A Ì B ve B Ì C) Þ A Ì C ‘dir.
(A Ì B ve B Ì A) Û A = B ‘ dir.

ÖZALT KÜME:

Tanım: Bir “A” kümesinin kendisi dışındaki alt kümesine “A” kümesinin özalt kümesi denir.

Örnek: A = { 2 , 5 } kümesinin özalt kümeler F , {2} , {5} ‘ dir.

KUVVET KÜMESİ:

Tanım: Bir “A” kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine A ‘nın kuvvet kümesi denir ve “P(A)” ile gösterilir.

Örnek: A = { a , x } ise P(A) = { F,{0},{x},{a,x} } ‘dır.

ALT ve ÖZALT KÜME SAYISI:

Tanım: Genel olarak s(A)=n olan “A” kümesinin alt kümelerinin sayısı 2 ve özalt kümelerinin 2 – 1 ‘dir.

Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } ise bu kümenin alt küme sayısı 2 ‘dir.
S(A) = 3 oldugundan 2 = 8’dir. A kümesinin 8 alt kümesi 7 özalt kümesi vardir.

N ELEMANLI BİR A KÜMESİNİN (r £ n) r ELEMANLI ALT KÜME SAYISI:

N öğeli bir kümenin r_öğeli (r £ n) alt kümelerinin sayısı
( ) = ‘dir. (yani n’in r’li kombinasyonu denir.)

Örnek: A = { a , b , c , d } kümesini 2 elemanlı alt kümelerinin
sayısını bulalım. ( ) =

KÜMELERDE İŞLEMLER

1.Kümelerin Bielişimi:
Tanım: “A ve B” kümelerinin bileşimi A È B = { x : x Î A veya x Î B } ‘dir. “A bileşim B” kümesi “A ile B” nin tüm elemanlarından oluşur.

A B B A B

A

A È B A È B A È B

Örnek: A = { 1 , 2 , 3 , 4 } ve B = { 2 , 4 , 7 , 9 } ise
A È B = { 1 , 3 , 4 , 2 , 7 , 9 } ‘dur.

Birleşim Özellikleri
Tek kuvvet özelliği:
Her A kümesi için A È A = A ‘dır
Her A ve B kümesi için A Ì B ‘ise A È B = B ‘ dir.
Değişme özelliği:
Her A ve B kümeleri için A È B = B È A ‘dir.
Birleşme özelliği:
Her A , B ve C kümeleri için (AÈB) È C = A È (B È C) ‘dir.
s(A ÈB) = s(A) + s(B) – s(A ÇB) ‘ dir.

2.Kümelerde Kesişim:
Tanım: “A ve B” kümelerinin kesişimi A Ç B ={x : x Î A ve x Î B} ’dir. “A kesişim B” kümesi hem “A” hemde “B” kümesine ait elemanlardan olusmaktadır.

A B

A Ç B

Örnek: A = { 1 , a , 2 , b , 3 } ve B = { 1 , 6 , 7 , b } ise
A Ç B = { 1 , b } ‘ dir.

Kesişim İşleminin Özellikler:
Tek kuvvet özelliği:
Her A kümesi için A Ç A = A ‘dır
Her A ve B kümesi için A Ì B ise A Ç B = A ‘dır.
Değişme özelliği:
Her A ve B kümeleri için A Ç B = B Ç A ‘dır.
Birleşme özelliği:
(A Ç B) Ç C = A ( B Ç C) ‘ dir.

3.Ayrık Kümeler:
Tanım: A ve B kümeleri için A Ç B = F ise bu kümeler atrık kümelerdir.

Örnek: A = { 1 , 5 , 6 } ve B = { 2 , b , y } ise
A Ç B = F oldugu üçün A ve B kümeleri ayrık kümelerdir.

4.Dağılma Özelliği:

a.)Birleşimin Kesişim Üzerinde Dağılma Özelliği:
Her A , B ve C elemanları için
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) ‘ dir

Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } ve C = { 3 , 4 , 5 } ‘ ise
A È ( B Ç C ) = A È { 3 , 4 }
= { 1 , 2 , 3 , 4 }

( A È B ) Ç ( A È C ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } Ç { 1 , 2 , 3 , 4 }
= { 1 , 2 , 3 ,4 }

{ 1 , 2 , 3 , 4 } = { 1 , 2 , 3 , 4 } = AÈ(BÇC) = ( A È B ) Ç ( A È C )

b.)Kesişimin Birleşim Üzerinde Dağılma Özelliği
Her A , B ve C kümeleri için
A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) ‘ dir.

Örnek: A = { a , b , c } , B = { c , d } ve C = { d , e } ise
A Ç ( B È C ) = A Ç { c , d , e }
= { c }
( A Ç B ) È ( A Ç C ) = { c } Ç F
= { c }

{ c } = { c } = A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
5.Birleşimin Eleman Sayısı:
A ve B kümeleri için s( A È B ) = s( A ) + s( B ) – s( A Ç B ) ‘ dir.

Örnek: s( A ) = 5 , s( B ) = 10 ve s (A Ç B ) = 2 ise
s( A È B ) = 5 + 10 – 2
= 13

6.Evrensel Küme:
Üzerinde işlem yapılan bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir.

E
A
B C A Ì E , B Ì E , C Ì E
Ve ( B È C ) Ì E ‘ dir.

7.Tümleme:
Bir A kümesine ait olmayan fakat evrensel kümeye ait olan tüm elemanlardan oluşan kümeye A ‘ kümesinin tümleyeni denir.

E

A kümesinin tümleyini A¢ = A = A sembollerinden biriyle gösterilir.

Örnek: E = { a , b , c , d , e } ve A = { a , b , c } ise
A¢ = { d , e } ‘ dir.

Tümleme İşleminin Özellikleri:
A Ç A¢ = F
A È A¢ = E
( A¢ ) ¢ = A
A Ì B ise B¢ Ì A¢ ‘dir.
( A È B ) ¢ = A¢ Ç B¢ (De Morgon Kuralı)
(A Ç B ) ¢ = A¢ È B¢ ( De Morgon Kuralı)
s(A) + s(A) ¢ = s(E)
E¢ = F
F¢ = E

8.Fark Kümesi:
A ve B kümeleri için A B = { x : x Î A ve x Ï B } kümesine A fark B kümesi denir.

A B

A B A Ç B B A

Örnek: A = { a , b , c , d } ve B = { a , d , e , f , b } ise
A B = { c } B A = { e , f } ‘ dir.

Fark Kümesinin Özellikleri:
A ¹ B ise A B ¹ B A
E A¢ = A
A B = A Ç B¢
A Ç B = F ise A B = A

9.Simetrik Fark:
A ve B kümeleri için A D B = ( A B ) È ( B A ) kümesine A ve B nin simetrik fark kümesi denir.

Örnek: A = { a , {b} , c , {d,e} } ve B = { {a} , {b} , c , d } ise
A D B = { a , {a} , d , {d,e} } ’ dir.

Açık Önermeler ve Niceliyiciler:

Açık Önerme:
Tanım: İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere , doğruluğu veya yanlışlığı hakkında kesin karar verilebilen önermelere açık önerme denir.

Örnek: P(x)= “x tamsayıdır” açık önermesinde x yerine 2 yazdığımızda önerme doğru olur. P(2) º 1 ‘dir. P(x) önermesinde x yerine ½ yadığımızda önerme yanlış olur. P(½) = 0 ‘dır.

Tanım: Biraçık önermeyi doğru yapan elemanlardan oluşan kümeye “Açık Önermenin Doğruluk Kümesi” yada “Çözüm kümesi” denir.

Örnek: P(x) = 3x+1 < 13 açık önermesinin doğal sayılarda doğruluk
kümesini bulalım.
3x+1 < 13 Þ 3x < 12 Þ x < 4 ‘ tür.
P(x) önermesi x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 için doğru çözüm
kümesidir.
Ç = { 0 , 1 , 2 , 3 } ‘dür.

Niceliyiciler:
Günlük yaşantımızda kullandığımız “bazı , her” gibi sözcüklerle yaptığımız bir çok önerme vardır. “Bazı aylar 30 gündür” önermesinde sözcüğü “En az bir ay 30 gündür” anlamındadır. “ Her kuş uçar ” önermesinde her bütün anlamındadır.

Varlıksal Niceliyiciler:
“Bazı” ile ifade edilen niceliyeciye varlıksal niceliyici denir.Bazı sözcüğü “En az bir” anlamına gelir ve bazı ile yapılan önermenin doğruluğu için en az bir doğru örnek yeter. Matematikte bazı sözcüğünün yerine “ $ “ sembolü kullanılır.

Örnek: “ Bazı sayılar 3’ e tam bölünür önermesi 3’e gölünen 3 , 6 …
gibi sayılar olduğundan doğrudur.

Evrensel Niceliyiciler:
“Her” ifade edilen niceliyiciye “Evrensel Niceleyici” denir.Her sözcüğü bütün anlamına gelir ve “her” ile yapılan önermenin doğru olmadığını göstermek için bir tek yanlış örnek yeter.
Matematikte “her” sözcüğünün yerine “”” sembolü kullanılır.

Örnek: P(x) = Her x Î R , x > 0 ‘dır. Önermesi x=0 için doğru
değildir. O halde önerme yanlıştır.

“” ve $ ” İle Yapılan Önermelerin Olumsuzu:
Bir önerme doğru iken önermenin olumsuzu yanlıştır.
1. $x Î A , P(x) ‘ tir önermesinin olumsuzu
¢ ile göserilir ve

¢ º

2. -1>¢ ile gösterilir.

Kartezyen Çarpim – Kümeler – Mantik İşlemleri

Kartezyen Çarpim – KÜmeler – Mantik İŞlemlerİ

KARTEZYEN ÇARPIM
Tanım: x ve y elemanlarının, sırası önemli olmak kaydıyla oluşturdukları
(x Ş1.bileşen, y Ş2. Bileşen) elemanına sıralı ikili denir.

Örnek: 3 ile 15 arasındaki tam sayılar için asal sayı, çift sayı şeklindeki bazı sıralı ikilileri yazınız.
Asal sayı = {5,7,11,13}
Çift sayı = {4,6,8,10,12,14}
(5,4), (5,6), (7,10), (7, 4), …
Tanım: (a, b) ve (c, d) ikilileri birbirine eşitse a ile c, b ile d birbirine eşittir ki, buna ikililerin eşitliği denir.
Yani; (a, b) = (c, d) Û a = c ve b = d’ dir.
Tanım:A ve B boş olmayan kümeleri için: 1. Bileşeni A’ dan 2. Bileşeni B’ den alınarak oluşturulan bütün ikililer kümesine AxB kartezyen çarpım kümesi denir.
AxB = {(x,y) ; x є A ve y є}
KARTEZYEN ÇARPIMIN ELEMAN SAYISI
S(AxB)=s(BxA)=s(A).s(B)
S(AxA)=s(A).s(A)={s(A)}2
KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELL
İĞİ
AxB¹BxA (Değişme özelliği yok)
Ax(BXC)=(AXB)XC (Birleşme özelliği)
AX(BUC)=(AXB)U(AXC)
AX(B∩C)=(AXB)∩(AXC)
Axø=øXA=ø
AXB=øÛA=ø veya B=ø’ dir.

=================================

A=ía,b,cı s(A)=3
Alfabenin ilk 3 harfi
Boş Küme:Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Æ veya íı şeklinde gösterilir.

SÌNÌZÌQ QÈI=R
Sonlu Küme: Elemanları sayılabilen kümelerdir.
Sonsuz Küme: Elemanları sayılamayan kümelerdir.
Alt Küme:Bir A kümesinin her bir elemanı bir B kümesinin de elemanı ise A, B’ nin alt kümesidir.
A Ì B B kapsar A
¯ A, B’ nin alt kümesidir.
Kapsar
Alt Küme Sayısı:n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n’ dir.
Özalt Küme: Bir A kümesinin alt kümelerinden kendisinin çıkarılmasıyla oluşan kümelere denir.
nelemanlı bir kümenin özalt kümelerinin sayısı 2n –1’ dir.
ALT KÜMEN
İN ÖZELLİKLERİ
Bir A kümesi için Æ Ì A’ dır. Ş Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Bir A kümesi için A Ì A’ dır Ş Her küme kendisinin alt kümesidir.
A Ì B ve B Ì A Û A = B
A Ì B ve B Ì C Û A Ì C
íÆıŞÆ, íÆı
ÆŞÆ

Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılabilen kümeleri kapsayan kümeye denir. “ E ” harfi ile gösterilir.
Tümleme: Bir E evrensel kümesi verilsin. E içinde bir A kümesi olsun. E’ nin içinde olup
A’ nın dışında kalan elemanların kümesine A’ nın tümleyeni denir ve A¢ ile gösterilir.
E

s(A) + s(A¢) = s(E)

TÜMLEMEN
İN ÖZELLİKLERİ
( A¢ )¢ = A 5. AÈE = E
E¢ = Æ 6. AÇA¢ = Æ
Æ¢ = E 7. AÈA¢ = E
AÇE = A 8. AÌB Ş B¢ÌA¢
Denk Küme: Eleman sayıları aynı olan kümelere denk küme denir.
Eşit Küme: Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir.
Ayrık Küme: Ortak elemanı olmayan kümelere denir.
B
İRLEŞİM İŞLEMİ
İki kümenin birleşim işlemi bütün elemanların bir küme içinde belirtilmesi ile oluşur. Aynı elemanlar iki kere tekrarlanmaz.
ÖZELL
İKLER
A È A = A (Tek kuvvet özelliği)
A È B = B È A ( Değişme özelliği)
A È ( B È C) = ( A È B ) È C (Birleşme özelliği)
A È Æ = Æ È A = A (Etkisiz eleman Æ)
A Ì B Ş A È B = B’ dir
A È B = Æ Û A = Æ ve B = Æ
A ile B ayrık kümeler ise s( A È B ) = s( A ) + s( B )
A ile B ayrık kümeler değil ise s( A È B ) = s( A ) + s( B ) – s( A Ç B )
KES
İŞİM İŞLEMİ
İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir.
ÖZELLİKLER
1-)A∩A=A
2-)A∩B=B∩A
3-)A∩(B∩C)=(A∩C)∩C
4-)A∩ø=ø∩A=ø (YUTAN ELEMAN ø DİR)
5-)AÌBŞA∩B=A
6-)A∩B =øŞA=ø VEYA B=ø VEYA A İLE B AYRIKTIR.

DAĞILMA ÖZELLİĞİ
1-)A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)
***(A∩B)U(A∩B’)=A∩(BUB’)
E
=A∩E
=A
2-)AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)
3-) DE MORGAN KURALI
a)(AUB)’=A’∩B’
b)(A∩^B)’=A’UB’

FARK İŞLEMİ
Tanım:A veB kümeleri verilsin .a’nın elemanı olup b’nin elemanı olmayan elemanların kümesine a fark b kümesi denir ve A-Bveya ab ile gösterilir.
A-B A∩B B-A
SONUÇ:
1-)S(AUB)=s(AUB) +S(A∩B) +S(B-A)
2-)A-B=A∩B’
Fark İşleminin Özellikleri:
1-)A-A=ø
2-)Ø-A=ø
3-)A-ø=A
4-)A-B¹B-A
5-)E-A=A’
3 KÜMENİN BİRLEŞİM KÜMESİNİN BULUNMASI

s(AUBUC)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A∩B)-s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)
N elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin bulunması
=========================

Doğruluk değeri aynı olan önermelere DENK ÖNERMELER denir.
Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen önermeye O ÖNERMENİN OLUMSUZU denir.Simgesi
(p’) dir.
En az iki önermenin V(veya) ,L(ve),Ş(ise),Û(ancak ve ancak ise) bağlaçlarıyla birleştirilerek oluşturulan öner-
melere BİRLEŞİK ÖNERME denir.

P ve q önermeleri verilsin .En az biri doğru iken doğru, ikisi de yanlış iken yanlış olan önermedir .p V q (p veya q)
P
q
p V q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0

pLq önermeleri verilsin. Her ikisi de doğru iken doğru diğer durumlarda yanlış olan önermelerdir.pLq (p ve q)

p
q
p Lq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
t p
q
p’
q’
p vq
pLq
p’vq’
p’Lq’
p’vq
p’Lq
pvq’
pLq’
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1-)P V P ºP (v nin tek kuvvet özelliği)
2-)P LP ºP(L nin tek kuvvet özelliği)
3-)P V qºqVp/(V nin değişme özelliği)
4-)PLqº q Lp(L nin değişme özelliği)
5-)P V (q V r) º ( p Vq ) Vr (V nin birleşme özelliği)
6-)p L (q Lr) º(pLq) Lr(L nin birleşme özelliği)
7-)p V (q L r) º (p V q) L (p V r )(V nin L üzerinde dağılma özelliği)
8-)p L(q V r) º (p Lr ) V ( q L r) ( L nin V dağılma özelliği)
9-)( p V q)’ º p’Lq’ DE MORGAN
10-)( P L q)’ º p’ V q’ KURALI

Bir bileşik önerme kendisini oluşturanönermelerin her değeri için daima doğru ise Totoloji , daima yanlış ise çelişme denir.

p
P’
Pvp’
pLp’
1
0
1
0
0
1
1
0

Totoloji Çelişme
ÖZELLİKLER:1-)PV1º1
2-)PV0ºP
3-)PL0º0
4-)PL1ºP
5-)PVP’º1
6-)PLP’º0

(
Ş) İSE BAĞLACI
İki önermenin ise (Ş) ile birleştirilmesiyle oluşan önermelerdir.Bu öneermelere KOŞULLU ÖNERME denir.Koşullu önermenin değeri 1 ise GEREKTİRME adını alır.
PŞq (p ise q )şeklinde gösterilir.P nin doğru q nun yanlış olduğu durumlarda yanlış , diğer durumlarda doğrudur.

p
q
PŞq
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1

p=q NIN KARŞITI, TERSİ VE KARŞIT TERSİ
BİR PŞQ koşullu önermenin karşıtı qŞp koşullu önermesidir.
pŞq koşullu önermenin tersi p’Şq’koşullu önermesidir.
pŞq koşullu önermenin karşıt tersi q’Şp’ koşullu önermesidir.
p=q İSE BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
1-)P=Qºq’=p’
2-)p=qº p’vq
3-)p=pº1
4-)p=1º1
5-)p=0ºp’
6-)1=pºp
7-)o=pº1
8-)p=p’ºp’
9-)p=pºp
10-)p=q¹q=p
11-)p=(q=r)¹(p=q)=r(birleşme özelliği yok)

Kombinasyon

KOMBİNASYON

http://www.hemenpaylas.com/download/…asyon.zip

KOMBİNASYON

Tanım: A, n elemanlı sonlu bir küme ve r ≤ n olmak üzere, A kümesinin r elemanlı her alt kümesine, bu kümenin r li kombinasyonu denir ve C (n, r) veya
biçiminde gösterilir.

ÖRNEKLER
1. Burcu Gizem ve Ecem’ den oluşan 3 kişilik bir gruptan;
a) Biri başkan, diğeri başkan yardımcısı olmak üzere, 2 kişi kaç türlü seçilebilir?
b) Bir yarışmaya gönderilmek üzere, 2 kişi kaç türlü seçilebilir?

Çözüm:

a) A= {Burcu, Gizem, Ecem} kümesinden; birincisi başkan, ikincisi başkan yardımcısı olmak üzere ikililer seçelim. Bu ikililer, A kümesinin ikili permütasyonlarıdır.

A kümesinin ikili permütasyonları
(sıralı ikililer)

(Burcu, Gizem) (Gizem,Ecem)
(Burcu, Ecem) (Ecem, Burcu)
(Gizem, Burcu) (Ecem, Gizem)

Bu sıralı ikililerin sayısı 6’dır. Bunu, P(3, 2) = 6 biçiminde yazarız. Burada ayrıca, (Burcu, Gizem) ve (Gizem, Burcu) ikililerin farklı permütasyonlar olduğu açıktır.
Permütasyonda sıra önemlidir.

b) A={Burcu,Gizem,Ecem}kümesinden,bir yarışmaya gönderilmek üzere seçilecek 2 kişilik kümeler oluşturalım.Bu kümeler, A kümesinin 2 elemanlı alt kümeleridir.

A kümesinin ikili alt kümeleri
(kombinasyonlar)

{Burcu, Gizem}
{Burcu, Ecem}
{Gizem, Ecem}
A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin (kombinasyonlarının) sayısı 3 tür. Bunu C(3,2) = 3 biçiminde yazarız. Ayrıca, {Burcu, Gizem} ve {Gizem, Burcu}kümelerinin aynı olduğu açıktır.
Kombinasyonda sıra önemli değildir.

2. A= {a,b,c} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini ve 2 li permütasyonlarını yazalım.

Çözüm:
2 li alt kümeleri 2 li permütasyonları
(kombinasyonları) (sıralı ikililer)

{a,b} (a,b) (b,a)
{a,c} (a,c) (c,a)
{b,c} (b,c) (c,b)

Yukarıda gördüğünüz gibi, 3 elemanlı kümenin 2 li alt kümelerinin sayısı,
C(3,2)=3 ve 2 li permütasyonların sayısı p(3,2)=6 dır.

Bunu, 2 ! . C(3,2) = P(3,2) biçiminde ifade ederiz.

Teorem: r n olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı,
C(n,r)= = dir.

İSPAT: n elemanlı bir kümenin, r elemanlı alt kümelerinin sayısı C(n,r) dir. Bu alt kümelerin her birindeki elemanların tüm sıralanışlarının (permütasyonlarının) sayısı da r! olduğundan r! . C(n,r)= P(n,r) yazabiliriz. Buradan,

C(n,r)= = = bulunur.

ÖRNEKLER:
1. A={1,2,3,4,5} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin (3 lü kombinasyonlarının) sayısını bulalım.

Çözüm: A kümesinin 5 elemanlı olduğundan, 5 in 3 lü kombinasyonunu bulacağız.
1. YOL: C(5,3) bulunur.
2. YOL: C(5,3) bulunur.

2. 10 kişilik bir sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol takımı kaç farklı biçimde oluşturulabilir.

Çözüm: 10 kişilik gruptan 5 kişi seçerken sıra önemli değildir. Örneğin, bu takımın {Ali, Can, Seçkin, Suat, Okan} veya {Can, Seçkin, Okan, Ali, Suat} olması farklı seçim olmaz. Bu nedenle seçimi kombinasyonla yaparız. O halde, oluşturulacak 5 kişilik grupların sayısı,
C(10,5) olur.

3. 2.C(n,2)=c(2n,1) ise n kaçtır?

Çözüm: 2.C(n,2)=C(2n,1)

2
n.(n-1)=2n n -3n=0 n=0 v n=3 bulunur. n=0 olmayacağından n=3 tür.

4. Herhangi 3 tanesi doğrusal olmayan 6 noktadan kaç doğru geçer.

Çözüm: 6 noktadan seçilecek olan herhangi iki noktanın sırası önemli değildir (Bu noktalardan herhangi ikisi A,B ise {A,B} ile {B,A} seçimleri aynı doğruyu gösterir.). O halde, oluşacak doğru sayısını, kombinasyonla buluruz. Bu durumda, 6 noktadan,

doğru geçer.

5. 3 erkek ve 2 bayandan oluşacak bir grup, 6 erkek ve 4 bayan arasından kaç türlü seçilebilir?

Çözüm: 6 erkek arasından 3 erkeği C(6,3); 4 bayan arsından 2 bayanı da C(4,2) kadar farklı şekilde seçebiliriz.

Genel çarpma kuralına göre bu seçimi;

türlü yapabiliriz.

6. n kenarlı konveks bir çokgenin köşegen sayısının olduğunu gösterelim.
Çözüm: n kenarlı bir çokgende n tane köşesi vardır. İki noktadan bir doğru geçtiğinden, köşegen sayısını bulmak için, n’in 2 li kombinasyonlarının sayısını bulmalıyız. Ancak, komşu olan iki köşeden köşegen geçemeyeceğinden(bunlar, çokgenin kenarlarıdır.), C(n,2) den, kenar sayısı olan n çıkarılır. O halde, n kenarlı çokgenin köşegen sayısı;
bulunur.

Kombinasyonla ilgili bazı özellikler:

1.
2.
3.
4.
Bu eşitliklerin ispatını, C(n,r) formülünden yararlanarak yapınız.

ÖRNEKLER:

1. C(5,0)+C(4,1)+C(3,3)-C(7,6) işlemini yapalım.

Çözüm: C(5,0)=1 , C(4,1)=4 , C(3,3)=1 ve (7,6)=7 oldugundan
C(5,0) + C(4,1) + C(3,3) – C(7,6) = 1 + 4 + 1 – 7 = -1 bulunur.

2. toplamını üstteki 4. özelliği kullanarak bulalım.

Çözüm: olur.

bulunur.

3. 5 farklı matematik ve 4 farklı Türkçe kitabından; 3 matematik ve 2 Türkçe kitabını, bir kitaplığın rafına kaç türlü yerleştirebiliriz?

Çözüm: 5 farklı matematik kitabı arasından; 3 matematik kitabı C(5,3) kadar farklı şekilde seçilebilir. 4 farklı Türkçe kitabından; 2 Türkçe kitabı da C(4,2) kadar farklı şekilde seçilebilir. Seçilen bu kitaplar,
C(
5,3) . C(4,2) . 5! = 10 . 6 . 120 = 7200 farklı sıralanabilir.

Etiketler:lise 1 kümeler özalt küme nedir küme işlemleri ve özellikleri kümeler lise 1 kümeler vikipedi tümleyen küme nedir kümeler kümelerin tanımı kümeler tanım kümelere örnekler sonlu ve sonsuz kümeler kümeler ve özellikleri özalt küme sayısı liste yöntemi kümeler örnek kümeler liste yöntemi lise 1 kümeler konusu alt küme özalt küme kümenin tanımı sonlu küme
Kümeler kuramı: Kümeler kuramı veya küme teorisi, matematiğin nesne grupları olan kümeleri inceleyen dalıdır. Herhangi bir nesne türü bir küme içine alınabilse de küme kuramı en çok matematik ile ilgili olan nesnelere uygulanır.
Kümes hayvanları: Kümes hayvanları, eti, yumurtası ve tüyü için yetiştirilen evcil, kanatlı hayvanlar. Tavuk, ördek, hindi ve kaz, birçok ülke hayvancılığında önemli bir yer tutarken, beçtavuğu ve güvercin yetiştiriciliği genellikle yerel olarak önem taşır.
Kümes kenesi: Kümes kenesi (Argas persicus), kış kenesigiller (Argasidae) familyasından kene türüdür.
Kümeleme: Kümeleme (Clustering) yapıları kullanıcılara kesintisiz bir hizmet vermek amacıyla geliştirilmiştir. Kümeleme işlemi temel olarak sabit dislerdeki işlenebilir alanları artıran, işlettim sisteminin mantıksal yapılarıdır.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir