Polinomlarda Toplama İşlemi

Sponsorlu Bağlantılar
2x4 a1 artan bir bu buna bunun halde inci polinom polinomlar veya x3 xk xn xy y3 Polinomlarda Toplama İşlemi polinomlarda 4 işlem polinomlarda toplama işlemi ..

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar

Eğer Word Halinde İndirmek İstiyorsanız Ekte Dosyası mevcuttur

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

a0, a1, a2, ….an-1, an  R ve n  N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

1. an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2. an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve =n şeklinde gösterilir.
4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R
ile gösterilir.

Örnek:
P(x) = 2×5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır?

Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2×5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2×4 + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x3y2 – 2×4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.
Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.
Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek
P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek
P(x) = x3 – 3×2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = – 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0×2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.

SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve a0  0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

n. dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;
A(x) = B(x)  an = bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.

Örnek
A(x) = 5×3 + (a + 1×2 + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

Çözüm
A(x) = 5×3 + (a + 1)x2 + d = 5×3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3)x + olduğundan;
A(x) = B(x)  5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir.

POLİNOM FONKSİYONLARI
P : R  R
x  P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

P : R  R
x  P(x) = 5×3 + 2×2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliğinde
H = x + 2  h –2 = x’i yerine yazalım.
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + … + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek
P(x) = 2×4 + 5×3 – 3×2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

Çözüm
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek
P(x) = x3 + 2×2 – 3x + 1, Q(x) = 3×2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözüm
P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + = x3 + 5×2 + (3-3) x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek
A(x) = 5×4 + x3 – 3×2 + x + 2 ve

B(x) = – 5×4 + x3 + 2×2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.

Çözüm
B(x) = -5×4 + x3 + 2×2 + ise, -B(x) = 5×4 – x3 – 2×2 – dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5×4 + x3 – 3×2 + x + 2) + (5×4 – x3 –2×2 – )
= (5 + 5)x4 + ( – )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 – )
= 10×4 – x3 – 5×2 + x – olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5×3) . (-2×4) = 5 . (-2) x3+4 = -10×7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek
A(x) = 3×4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

Çözüm
a) A(x) . B(x) = (3×4 + 1) . (x2 + x)
= 3×4 . x2 + 3×4 . x + x2 + x
= 3×6 + 3×5 + x2 + x

b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.

Polinomlar

Polinomlar

P O L İ N O M

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

a0, a1, a2, ….an-1, an  R ve n  N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

1. an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2. an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve =n şeklinde gösterilir.
4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R ile gösterilir.

Örnek:
P(x) = 2×5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır?

Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2×5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2×4 + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x3y2 – 2×4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek
P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek
P(x) = x3 – 3×2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = – 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0×2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.

SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve a0  0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

n. dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;
A(x) = B(x)  an = bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.

Örnek
A(x) = 5×3 + (a + 1×2 + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

Çözüm
A(x) = 5×3 + (a + 1)x2 + d = 5×3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3)x + olduğundan;
A(x) = B(x)  5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir.

POLİNOM FONKSİYONLARI

P : R  R
x  P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

P : R  R
x  P(x) = 5×3 + 2×2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliğinde
H = x + 2  h –2 = x’i yerine yazalım.
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + … + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek
P(x) = 2×4 + 5×3 – 3×2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

Çözüm
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek
P(x) = x3 + 2×2 – 3x + 1, Q(x) = 3×2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözüm
P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4
= x3 + 5×2 + (3-3) x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek
A(x) = 5×4 + x3 – 3×2 + x + 2 ve

B(x) = – 5×4 + x3 + 2×2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.

Çözüm
B(x) = -5×4 + x3 + 2×2 + ise, -B(x) = 5×4 – x3 – 2×2 – dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5×4 + x3 – 3×2 + x + 2) + (5×4 – x3 –2×2 – )
= (5 + 5)x4 + ( – )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 – )
= 10×4 – x3 – 5×2 + x – olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5×3) . (-2×4) = 5 . (-2) x3+4 = -10×7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek
A(x) = 3×4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

Çözüm
a) A(x) . B(x) = (3×4 + 1) . (x2 + x)
= 3×4 . x2 + 3×4 . x + x2 + x
= 3×6 + 3×5 + x2 + x

b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

1. Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.
2. Değişme özelliği vardır.
3. Birleşme özelliği vardır.
4. Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.
5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.
Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir.
6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)

Polinomlar Halkası

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R polinomlar kümesi;
1. (R,+) sistemi değişmeli gruptur.
2. R kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
3. R kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
O halde (R, + , . ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

Polinomlarda Bölme İşlemi

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

A(x) B(x)
 T(x)

.
-___________
R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.
Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.
2. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.
DerB(x) < derA(x)

3. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.
Der R(x) < der B(x)

4. R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.
5. der A(x) = der B(x) + der T(x)

der = der A(x) – der B(x) dir.

Örnek
P(x) = x4-2×2 + x 5 polinomunu
Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim.

x4 – 2×2 + x + 5 x2 + 3x – 1
_____________ = x2
x2- 3x + 8

± x4 ± 3×3 ± x2 = -3x
-__________________
-3×3 – x2 + x + 5 = 8
±3×3 ± 9×2 ±3x
-_________________
8×2 – 2x + 5
± 8×2 ± 24x ±8
-_________________
- 26x + 13

Bölüm : x2 – 3x + 8
Kalan : -26x + 13

Horner Metodu

Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

Örnek
Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

Çözüm
1. Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2. Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur.
3. p katsayısı aşağıya aynen yazılır.
4. a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir.
px3 + qx2 + rx + s, x – a = 0 ise x = a

Örnek
P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

Çözüm
P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0  x = 2 ‘yi yerine yazalım.

Bölümün Katsayıları Kalan

-1 0 3 4
2 1 2 2 4 14
1 1 2 7 18

Bölümün Katsayıları Kalan

Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
Kalan R(x) = 18 bulunur.

Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k  P(a) = k bulunur.

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0  x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

Örnek
P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

Çözüm
X – 2 = 0  x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 22 – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır.
Ax + b = 0  x = olur. Polinomda x yerine yazılırsa P( ) = k bulunur. O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine yazılır.

Örnek
P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
P ( ) = – 4. + 1 = – 2 + 1 = olur.

Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır.
P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır.
P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır.

Örnek
P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0  x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız.
P(x) = x2 . x2 – x2 . x + x2 + 7x – 1 olur.
Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.

Örnek
Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
(x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa,
P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.
P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.
P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b  P(-3) = -3a + b
P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b  P(2) = 2a +b olur.

-3a + b = -5
2a + b = 4
denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur. Buradan, K(x) = x + bulunur.

Örnek
Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;
P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda,
x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve
x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = – 2x + 6 olur.
bx + c – 2a = -2x + 6  b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den
a – 2 + c = 7  a + c = 9 dur.
c – 2a = 6
a + c = 9
Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Oyleyse, K(x) = x2 – 2x + 8 olur.

KULLANDIĞIM KAYNAKLAR

1) M.E.B YAYINLARI MATEMATİK LİSE 1 DERS KİTABI
2) ZAFER DERSANESİ YAYINLARI KİTABI
3) GÜVEN-DER YAYINLARI ÖSS KİTABI
4) BAŞARI YAYINLARI LİSE 1 MATEMATİK DERS KİTABI
5) AYDIN YAYINLARI LİSE 1 MATEMATİK DERS KİTABI
6) OKUL MATEMATİK DEFTERİ

Lise 1-2-3-4 Matematik Tüm Konular

Lise 1-2-3-4 Matematik Tüm Konular

–LİSE 1–

Rasyonel Sayılar

Kesir Çeşitleri
Rasyonel Sayıların Eşitliği
Yansıma simetri geçişme
Rasyonel Sayılar Kümesinde İşlemler
Toplama Çıkarma Çarpma ve Bölme İşleminin Özellikleri
Rasyonel Sayılarda Sıralama
Obeb ve Okek
Rasyonel Sayıların Yoğunluğu
Ondalık Sayılar
Devirli Ondalık Sayı
Kesir Problemleri
Rasyonel Sayılarla ilgili Çözümlü Testler

16 Sayfa

Eşitsizlikler

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Çarpım ve Bölüm Biçimindeki Eşitsizlikler
Pratik Kurallar
Eşitsizlik Sistemleri
Mutlak Değerli Eşitsizlikler
Denklem Çözümleri
Gerçek kökler ile Bir K Gerçel Sayısının Karşılaştırılması
Üçterimlinin Pozitif veya Negatif Olması
Eşitsizlik ile ilgili Çözümlü Testler

35 Sayfa

Denklemler

Denklem Çözüm Kümeleri
İki Bilinmeyenli Denklemleri Çözüm Kümeleri
Geometrik Anlamı
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler
Denklem Sistemlerinin Çözüm Metotları
Yok Etme Metodu
Yerine Koyma Metodu
Özel Denklemler
Denklemler ile İlgili Çözümlü Testler

12 Sayfa

Mutlak Değer

Karekök ve Mutlak Değer
Mutlak Değer ile ilgili Özellikler
Çözümlü Testler

14 Sayfa

Köklü İfadeler

Rasyonel Üstün Genişletilmesi ve Sadeleştirilmesi
Toplama çıkarma çarpma bölme
Paydanın Rasyonel Yapılması
Kök İçinde Köklü İfadeler
Sonsuz Kökler
Köklü İfadelerde Sıralama
Özel Kökler
Çözümlü Testler

15 Sayfa

Reel Sayılar Sıralama ve Eşitsizlik

İrrasyonel Sayılar
Reel Sayılarda İşlemler
Reel Sayılarda Eşitliğin Özelliği
Reel Sayılarda Sıralama
Sıralama Özellikleri
Reel Sayı Aralıkları
Çözümlü Testler

11 Sayfa

Üslü İfadeler

Üslü İfadelerde 4 İşlem
Tabanları Aynı üstleri Farklı İfadelerin Çarpımı ve Bölümü
Tabanları Farklı Üstleri Aynı Olan İfadelerin Çarpımı ve Bölümü
Üslü Sayıların Sıralaması
Üslü Denklemler
10 un Kuvvetleri
Çözümlü Testler

13 Sayfa

Doğal ve Tam Sayılar

Sayma Sayılar Kümesi
4 İşlem
Doğal Sayıların Kuvveti
Üslü Sayılar
Bölme İşleminin Özellikleri
Taban Aritmetiği
Faktöriyel
Asal Sayılar
Asal Çarpanlar
Bölünebilme Kuralları
(2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,17,19 ile bölünebilme kuraları)
Ebob – Ekok
Tek ve Çift Tamsayılar Özellikleri

15 Sayfa

Problemler

Denklem Kurma Problemleri
Problem Çözme Stratejisi
Matematik Diline Çevirme
Kesir Problemleri
Yaş Problemleri
İşçi – Havuz Problemleri
Hareket Problemleri
Yüzde Problemleri
Faiz Problemleri
Karışım Problemleri
Konu ile İlgili Çözümlü Test

15 Sayfa

Kümeler

Küme Kavramı
Küme Gösterimi
Sonlu ve Sonsuz Kümeler
Alt Küme ve Özellikleri
Kuvvet Kümesi
Kümelerde İşlemler
Dağılma Özelliği
Evrensel Küme
Tümleme ve Özellikler
Fark Kümesi ve Özellikleri
Açık Önermeler
Varlıksal ve Evrensel Niceleyiciler
En az ve Her ile Yapılan Önermelerin Olumsuzu
Konu ile İlgili Çözümlü Test

30 Sayfa

Bağıntı ve Fonksiyon

Sıralı N li ifadeler
İki Kümenin Kartezyen Çarpımı
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
Koordinat Sistemi Analitik Düzlem
Bağıntı
Bağıntının Şeması ve Grafiği
Bağıntı Sayısı
Bir Bağıntının Tersi
İki Bağıntının Bileşkesi
Bir Kümede Tanımlı Bağıntıların Özellikleri
Ters Simetri Özellikleri
Denklik Bağıntısı
Denklik Sınıfları
Sıralama Bağıntısı
Fonksiyon
Fonksiyonun Grafiği
Fonksiyonlarda Dört İşlem
Eşit Fonksiyonlar
Fonksiyon Çeşitleri
Permütasyon Fonksiyon
Birim Fonksiyon
Fonksiyonların Bileşkesi
Fonksiyon Sayısı
Konuyla İlgili Çözümlü Sorular

53 Sayfa

İşlem

şlemin Özellikleri
Modüler Aritmetik
Matematik Sistemler
Grup, Halka, Cisim
Konuyla İlgili Çözümlü Sorular

19 Sayfa

–LİSE 2–

İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri

İkinci Dereceden Fonksiyonlar Ve Grafikler
Parobol Çizimleri
Tepe Noktası, Simetri Ekseni
Grafik Çizimleri
Parabol Denkleminin Bulunması
Noktalara Ve Doğrulara Göre Parabol Denklemi
Eşitsizlik Sistemleri
İki Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemlerinin Analitik Düzlemde Grafikle Çözümü
Parabolun Düzlemde Ayırdığı Bölgeler
60 Adet Ayrıntılı Çözülü Test Sorusu

2. ve 3. Dereceden Denklemler

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Çözümleri
İndirgenmiş Diskiriminant Yarım Formül
2. Dereceden Denkleme Dönüştürülebilen Denklemler
Çarpanlara Ayrılabilen Denklemler
Değişken Değiştirme
Köklü Denklemler
Üslü ve Mutlak Değerli Denklemler
Denklem Sistemleri
Parametreli Denklemler
2.Dereceden bir denklemin Kökleri ve Katsayıları Arasındaki Bağıntılar
Kökleri verilen Denklemi Bulmak
Üçüncü Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Çözümleri
Dördüncü Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Çözümleri
70 adet Çözümlü Test Soruları

Polinomlar

Bir Değişkenli Polinom Halkası
İki Değişkenli Polinom Halkası
İki Polinomun Eşitliği
Bir Polinomun Bir Gerçel Sayı İçin Aldığı Değer
Polinomlarda İşlemler
Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme
Horner Yöntemi ile Bölme
Bölmede Kalanın Bulunması
72 Adet Ayrıntılı Çözümlü Sorular

27 Sayfa

Polinomların Çarpanlara Ayrılması

Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Ortak Çarpan Parantezine Alma
Gruplandırma
Özdeşiklerden Yararlanma
Binom Açılımı ve Özellikleri
P(X) İn X = K İçin DeğeriP(X) İn (Ax + B) İle Bölünmesiyle Elde Edilen Kalan
P(X) İn Xn + A İle Bölümünden Kalan
P(X) İn (X – A) . (X – B) Çarpımı İle Bölünmesi
P(X) İn (A. X + B)2 İle Bölünebilmesi
Polinomlarda EBOB EKOK
Rasyonel İfadelerde Polinom
Polinom Denklemler
İki ve Daha Çok Bilinmeyenli Denklemler
Basit Kesirlere Ayırma
50 Adet Ayrıntılı Çözümlü Soru

43 Sayfa

Permitasyon Kombinezon Binom Açılımı Olasılık

Sıralı Nliler
Sayma Kuralları
Saymanın Temel İlkesi
Çarpansal Kavramı
Faktöriyel Kuralları
Dönel Sıralama
Tekrarlı Permütasyonlar
Kombinasyon ve Özellikleri
Permütasyon ve Permürtasyon Arasındaki Farklar
Binom Açılımı
Olasılık Fonksiyonu
Eş Olumlu Örnek Uzay
Koşullu Olasılık ve Bağımsız Olaylar
Çarpım Kuralı
Konuyla İlgili 60 adet Çözümlü Sorular

44 Sayfa

Eşitsizlikler

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Çarpım Ve Bölüm Biçimindeki Eşitsizlikler
Pratik Kurallar
Eşitsizlik Sistemi
Mutlak Değerli Eşitsizlikler
Gerçel Köklerin Karşılaştırması
Diskrimant Durumlarına Göre İnceleme
Eşitsizlikteki Bilinmeyen K Değerini Bulma
İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin İşaretlerinin İncelenmesi
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Köklerinin Bir Gerçel Sayı İle Karşılaştırılması
Eşitsizlik ile ilgili Çözümlü Açıklamalı Testler
Teoremler ve Alıştırmalar

35 Sayfa

Trigonometri

Cos, Sin, Tan, Cot, sec
Trigonometrik esitlikleri ezberlemenin pratik Yolları
Açı ölçüsü birimleri.
Orta taban.
Ö—- Teoremi.
Özel bazı açılar için sinüs değerlerini hatırlamanın pratik bir yolu
Kosinüs Teoremi.
Sinüs Teoremi.
Heron formülü.
Sinüs-Alan-Kenar liskisi.
Tanjant Teoremi.
Toplam-Fark formülleri.
Yarım açı ve kat formülleri.
Morrie Esitligi.
:ki kat formülleri.
Dönüşüm Formülleri.
Simpson formülleri
Ters Dönüşüm Formülleri.
Prosthaphaeresis formülleri
Werner formülleri
Üçgende bazı trigonometrik eşitlikler.
Üçgende bazı trigonometrik eşitsizlikler.
Trigonometrik fonksiyonların grafikleri ve periyot bulma.
y = f(x) – k ve y = f(x) + k grafikleri.
y = f(x – k) ve y = f(x + k) grafikleri
y = -f(x) grafikleri.
y = k.f(x) grafikleri
y = |f(x)| ve y = f(|x|) grafikleri.
y = f(k-x) grafikleri.
y = f “(x) grafikleri.
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar.
Arcsin grafiği
sin x = sin a esitlikleri
cos x = cos aesitlikleri.
tan x = tan a esitlikleri.
Birinci dereceden trigonometrik denklemlerin çözümü.
Homojen Denklemler
Trigonometriyle ilgili çözümlü testler

98 sayfa

Etiketler:polinomlarda 4 işlem polinomlarda toplama işlemi polinomun katsayısı polinomlar katsayı polinomlarda dört işlem polinomlarda katsayı polinomlarda toplama polinomlarda toplama çıkarma gerçek katsayılı polinomlar polinomlarda dört işlemli toplama polinomlarda çıkarma işlemleriyle ilgili matematik polinomlar konusu katsayılar polinomlarla polinom katsayilar toplami
Buchenwald Toplama Kampı: Toplama Kampı Buchenwald Almanya sınırları içerisindeki en büyük toplama kamplarından birisidir. Haziran 1937 ile Nisan 1945 yılları arasında Weimar yakınlarında Ettersberg'de çalışma kampı olarak işletilmiştir.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir