Polinomun Derecesini Bulma

burada daha genel olur polinom sabit vs..

Polinomlar (test)


Polinomlar

POLİNOMLAR

ifadesinde olduğu gibi içinde değişken (x veya y gibi)
bulunduran ifadelere polinom denir.
Yukarıda verilen 5. dereceden 4 terimli bir polinomdur.
Polinomun derecesi:
Polinom içindeki değişkenlerden en büyük üsse sahip olan
terim polinomun derecesini belirtir.
Örnek: polinomu 5.derecedendir
Örnek : polinomu 8.
derecedendir. Burada olduğu gibi 1’den fazla değişken
varsa terimi oluşturan değişkenlerin üslerinin toplamına
bakılır.
teriminin derecesi : 5+3=8
teriminin derecesi : 4+2=6
teriminin derecesi : 2+5=7
3 teriminin derecesi : 0
olduğu için polinomun derecesi 8 olur.
Polinomun katsayılar toplamı:
Polinomun katsayılar toplamını bulmak için
değişkenlere “1” verilir.
Örnek: polinomunun
katsayılar toplamı: P(1)=1-3+2-4=-4
Örnek: polinomunun
katsayılar toplamı P(1,1)=3-2+1-3=-1 ‘ dir.
Polinomun sabit terimi: Polinomun sabit terimini bulmak
için değişkenlere”0” verilir.
Örnek: polinomunun
sabit terimi P(0)=-4
Örnek: polinomunun
sabit terimi P(0)=-3 ’ tür.
Not : Sabit: terimin derecesi “0” dır
Not : Polinomun derecesi ile işlemlerde ve sorularda üslü
ifadelerdeki bilgiler ışığında düşünülmelidir.
Örnek: ve
polinomları verilsin
ve olduğu görülmektedir.

(Büyük derece belirleyicidir)
Örnek: ve
olduğuna göre

bulunur.
Örnek:
P(x)’in Q(x)’e bölünmesi işlemini yapalım.

Bölünen
bölen (x-2),
bölüm ve
kalan (-2) polinomları arasındaki ilişki:

şeklinde olduğundan veya daha genel olarak
P(x)=Q(x).T(x)+K(x)
olarak ifade edilebildiğinden polinom problemlerinin
çoğunda bölme işlemi yapmadan soruyu çözmenin yolları
vardır.
Örnek: polinomunu x+1 ile bölersek
kalan ne olur?
Not:Bölen 1.derece olduğundan kalan 0. derece olur.

P(x)=( x+1)Q(x)+A
Eşitliğini oluşturduktan sonra amacımız ”A” yı bulmak olduğu
(ve de Q(x)’ten kurtulmak istediğimiz ) için x yerine “-1”
değerini verelim:

eşitliğinden A=-5 bulunur.
Örnek: polinomunu
ile bölersek kalan ne olur?
Not:Bölen 2. derece olduğundan kalan 1. derece varsayılır

olması için (Çünkü Q(x) ifadesinden kurtulmalıyız).
dönüşümünü yapmalıyız.
x(x-1)-2(x-1)+x-1=Ax+B

Ax+B=x-1-2x+1
Ax+B= -x bulunur.
Örnek: Önceki problemin farklı bir çözümü olarak da Q(x)
ifadesini tahmin edebiliriz.
Derecelerine dikkat ettiğimizde Q(x) polinomunun 1. derece
olduğunu ve bölünen polinomundaki teriminin katsayısı 1
olduğundan Q(x) polinomunu da Q(x)=x+c şeklinde ifade
edebileceğimiz yorumunu yapabiliriz.

denklemleri bulunur.
Bu denklemlerin çözümünden
A=-1, B=0, C=-1 bulunur.
Örnek: Aynı problemin Q(x) ile ilgili gerekli tahminleri
yaptıktan sonra geliştirilebilecek bir başka çözüm tekniği de
şöyledir :

olduğundan ve de özdeş polinomlarda
aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olacağından
-2=C-1
1=1+A-C
-1=B+C
C=-1 ; B=0 ve A=-1 bulunur.

Oran-Orantı
Üslü İfadeler
Kümeler
Köklü İfadeler

Çarpanlar-Özdeşlikler Polinomlar
Fonksiyonlar
2.Derece Denklemler

Eşitsizlikler Trigonometri
Logaritma
Doğru Analitiği

Polinomlar – Anlatim

POLİNOMLAR – ANLATIM

A. TANIM
n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, … , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an – 1xn – 1+anxn
biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.
*
B. TEMEL KAVRAMLAR
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an – 1xn – 1+anxn
olmak üzere,
Ü* a0, a1, a2, … , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir.
Ü* a0, a1x, a2x2, … , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir.
Ü* Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.
Ü* Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve
**** der ile gösterilir.
Ü* Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.
Ü* a0 = a1 = a2 = … = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.
Ü* a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = … an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.

Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.
Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.
*
C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR
P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir.
*
D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK
Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.
*
Ü* P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.
Ü* P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.
*

Herhangi bir polinomda; kat sayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.
P(ax + b) polinomunun; kat sayıları toplamı
P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.
*
Ü* P(x) polinomunun;
*** Çift dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı:
*
*** Tek dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı:
*
*
E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER
1. Toplama ve Çıkarma
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + …
Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + …
olmak üzere,
*
P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + …
P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + …
olur.
*
2. Çarpma
İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.
*
3. Bölme
der ³ der ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,

*
P(x) : Bölünen polinom
Q(x) : Bölen polinom
B(x) : Bölüm polinom
K(x) : Kalan polinomdur.
*
Ü* P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
Ü* der < der
Ü* K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.
Ü* der = der + der
*
Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.
Bunun için;
1) Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2) Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
4) Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır.
5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.
*
F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI
Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.
*
1. Bölen Birinci Dereceden İse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine yazılır.
•* P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.
•* P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan
**
*
2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa
Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.
P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,
P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.
P(b) = mb + n … (1)
P(c) = mc + n … (2)
(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.

Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir.
*
3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa
Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur.
1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur.
2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.
•** P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölümünden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır.
*
4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+, n > 1)

Polinomlar Konu Anlatımı

POLİNOMLAR NEDİR?
POLİNOM ÇEŞİTLERİ NELERDİR?

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:
N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 +Î R ve n Îa0, a1, a2, ….an-1, an …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.
1. an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2. an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve =n şeklinde gösterilir.
4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2×2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R
ile gösterilir.
Örnek:
NÎP(x) = 2×5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n kaç olmalıdır?
Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.www.matematikcifatih.tr.gg
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da³ 0 den n ³n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2×5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2×4 + x + 4 dür.
ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM
P(x, y) = x3y2 – 2×4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.
Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.
Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.
Örnek
P(x, y) = 2×2y4 – 3×3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?
Çözüm:
2×2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3×3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.
Örnek
P(x) = x3 – 3×2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?
Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = – 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.
SIFIR POLİNOMU
P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0×2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.
Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.
Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.
Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.
SABİT POLİNOM
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.¹a0
0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0×0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.
Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.
Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.
İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ
Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.
n. dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2×2 + b1x + b0 polinomları için;
an =ÛA(x) = B(x) bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.
Örnek
A(x) = 5×3 + (a + 1×2 + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.
Çözüm
A(x) = 5×3 + (a + 1)x2 + d = 5×3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3)x + olduğundan;
5 = b – 1, a + 1 = -3, 0ÞA(x) = B(x) = -(2c – 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir.
POLİNOM FONKSİYONLARI
R®P : R
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +®x a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.
R®P : R
P(x) = 5×3 + 2×2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.®x
Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.
Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.
II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.
Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.
Çözüm
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliğinde
h –2 = x’i yerineÞH = x + 2 yazalım.
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.
POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + … + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.
Örnek
P(x) = 2×4 + 5×3 – 3×2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.
Çözüm
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.
POLINOMLARDA İŞLEMLER
Polinomlarda Toplama İşlemi
A(x) = a4×4 + a3×3 + a2×2 + a1x + a0
B(x) = b3×3 + b2×2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0
Örnek
3 x + 4 polinomlarınınÖP(x) = x3 + 2×2 – 3x + 1, Q(x) = 3×2 + toplamı olan polinomu bulunuz.
Çözüm
3-3)Ö3) x + 1 + = x3 + 5×2 + (ÖP(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + x + 5 dir.
Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.
1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.
İki Polinomun Farkı
P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.
Örnek
A(x) = 5×4 + x3 – 3×2 + x + 2 ve
B(x) = – 5×4 + x3 + 2×2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.
Çözüm
B(x) = -5×4 + x3 + 2×2 + ise, -B(x) = 5×4 – x3 – 2×2 – dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5×4 + x3 – 3×2 + x + 2) + (5×4 – x3 –2×2 – )
= (5 + 5)x4 + ( – )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 – )
= 10×4 – x3 – 5×2 + x – olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.
Polinomlarda Çarpma İşlemi
A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5×3) . (-2×4) = 5 . (-2) x3+4 = -10×7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der = der (A(x)) + der (B(x))
Örnek
A(x) = 3×4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.
Çözüm
a) A(x) . B(x) = (3×4 + 1) . (x2 + x)
= 3×4 . x2 + 3×4 . x + x2 + x
= 3×6 + 3×5 + x2 + x
b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.

**polinomlar**

P O L İ N O M

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

a0, a1, a2, ….an-1, an  R ve n  N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

1. an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2. an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve =n şeklinde gösterilir.
4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R ile gösterilir.

Örnek:
P(x) = 2×5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır?

Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2×5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2×4 + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x3y2 – 2×4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek
P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek
P(x) = x3 – 3×2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = – 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0×2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.

SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve a0  0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

n. dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;
A(x) = B(x)  an = bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.

Örnek
A(x) = 5×3 + (a + 1×2 + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

Çözüm
A(x) = 5×3 + (a + 1)x2 + d = 5×3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3)x + olduğundan;
A(x) = B(x)  5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir.

POLİNOM FONKSİYONLARI

P : R  R
x  P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

P : R  R
x  P(x) = 5×3 + 2×2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliğinde
H = x + 2  h –2 = x’i yerine yazalım.
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + … + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek
P(x) = 2×4 + 5×3 – 3×2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

Çözüm
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek
P(x) = x3 + 2×2 – 3x + 1, Q(x) = 3×2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözüm
P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4
= x3 + 5×2 + (3-3) x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek
A(x) = 5×4 + x3 – 3×2 + x + 2 ve

B(x) = – 5×4 + x3 + 2×2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.

Çözüm
B(x) = -5×4 + x3 + 2×2 + ise, -B(x) = 5×4 – x3 – 2×2 – dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5×4 + x3 – 3×2 + x + 2) + (5×4 – x3 –2×2 – )
= (5 + 5)x4 + ( – )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 – )
= 10×4 – x3 – 5×2 + x – olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5×3) . (-2×4) = 5 . (-2) x3+4 = -10×7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek
A(x) = 3×4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

Çözüm
a) A(x) . B(x) = (3×4 + 1) . (x2 + x)
= 3×4 . x2 + 3×4 . x + x2 + x
= 3×6 + 3×5 + x2 + x

b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

1. Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.
2. Değişme özelliği vardır.
3. Birleşme özelliği vardır.
4. Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.
5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.
Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir.
6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)

Polinomlar Halkası

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R polinomlar kümesi;
1. (R,+) sistemi değişmeli gruptur.
2. R kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
3. R kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
O halde (R, + , . ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

Polinomlarda Bölme İşlemi

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

A(x) B(x)
 T(x)

.
-___________
R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.
Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.
2. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.
DerB(x) < derA(x)

3. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.
Der R(x) < der B(x)

4. R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.
5. der A(x) = der B(x) + der T(x)

der = der A(x) – der B(x) dir.

Örnek
P(x) = x4-2×2 + x 5 polinomunu
Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim.

x4 – 2×2 + x + 5 x2 + 3x – 1
_____________ = x2
x2- 3x + 8

± x4 ± 3×3 ± x2 = -3x
-__________________
-3×3 – x2 + x + 5 = 8
±3×3 ± 9×2 ±3x
-_________________
8×2 – 2x + 5
± 8×2 ± 24x ±8
-_________________
– 26x + 13

Bölüm : x2 – 3x + 8
Kalan : -26x + 13

Horner Metodu

Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

Örnek
Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

Çözüm
1. Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2. Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur.
3. p katsayısı aşağıya aynen yazılır.
4. a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir.
px3 + qx2 + rx + s, x – a = 0 ise x = a

Örnek
P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

Çözüm
P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0  x = 2 ‘yi yerine yazalım.

Bölümün Katsayıları Kalan

-1 0 3 4
2 1 2 2 4 14
1 1 2 7 18

Bölümün Katsayıları Kalan

Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
Kalan R(x) = 18 bulunur.

Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k  P(a) = k bulunur.

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0  x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

Örnek
P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

Çözüm
X – 2 = 0  x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 22 – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır.
Ax + b = 0  x = olur. Polinomda x yerine yazılırsa P( ) = k bulunur. O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine yazılır.

Örnek
P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
P ( ) = – 4. + 1 = – 2 + 1 = olur.

Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır.
P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır.
P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır.

Örnek
P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0  x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız.
P(x) = x2 . x2 – x2 . x + x2 + 7x – 1 olur.
Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.

Örnek
Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
(x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa,
P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.
P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.
P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b  P(-3) = -3a + b
P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b  P(2) = 2a +b olur.

-3a + b = -5
2a + b = 4
denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur. Buradan, K(x) = x + bulunur.

Örnek
Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;
P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda,
x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve
x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = – 2x + 6 olur.
bx + c – 2a = -2x + 6  b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den
a – 2 + c = 7  a + c = 9 dur.
c – 2a = 6
a + c = 9
Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Oyleyse, K(x) = x2 – 2x + 8 olur.

KULLANDIĞIM KAYNAKLAR

1) M.E.B YAYINLARI MATEMATİK LİSE 1 DERS KİTABI
2) ZAFER DERSANESİ YAYINLARI KİTABI
3) GÜVEN-DER YAYINLARI ÖSS KİTABI
4) BAŞARI YAYINLARI LİSE 1 MATEMATİK DERS KİTABI
5) AYDIN YAYINLARI LİSE 1 MATEMATİK DERS KİTABI
6) OKUL MATEMATİK DEFTERİ
:ok:

Sponsorlu Bağlantılar
Aramalar: polinomlarda derece bulma polinomun derecesi nasıl bulunur polinomun derecesini bulma polinom derecesi bulma polinomda derece bulma
Etiketler:polinomlar polinomun derecesini bulma polinomlarda derece bulma Polinomun derecesi nasıl bulunur polinomun derecesi 2.dereceden polinomlar polinom derecesi nasıl bulunur polinomlarda 2.derece denklemler 2. dereceden polinomlar polinomların özeti polinomda derece bulma polinom derecesi polinomlar kümesinde işlemler soru bir ifadenin polinom oldugunu nasil bulunur polinom bulmaca bulma lise 2 polinomlarla ilgili örnek sorular ve cevapları Polınom derecesı polinomlarda değer bulma polinom derecesi bulma polinomun katsayılarını bulmak
Bulmaca: Bulmaca, oyuncuların zeka, mantık, dikkat ve hafıza gibi zihinsel yeteneklerini kullanarak çözdükleri; yazılı, sözlü veya mekanik formatlardaki problemlerden oluşan genellikle tek kişilik oyun.
Bulmastif: Bulmastif, İngiliz bekçi köpeği.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir